100

10.2. Зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку

Проекция вектор-момента силы относительно точки на любую ось, проходящую через эту точку, численно равна моменту силы относительно этой оси.

Действительно, пусть к телу в точке А приложена сила Р (рис. 10. 1, г). Вектор момента силы относительно произвольно выбранной точки О направлен перпендикулярно плоскости треугольника ОАВ (см. п. 4. 2), а модуль его согласно выражению (4. 2) равен:

Мо (Р) = 2 А Оав

Момент силы относительно оси z, проходящей через точку О, в соответствии с выражением (10. 2) равняется:

Мz (Р) = 2 А Оав

Треугольник Оав является проекцией треугольника ОАВ на плоскость, перпендикулярную оси z, т.е.

А Оав = А ОАВ Соs α ,

где α - угол между плоскостями треугольников ОАВ и Оав и, следовательно, между вектором Мo (Р) и осью z.

Тогда, проектируя вектор Мo (Р) на ось z, получаем:

[Мо (Р)]z = Моz = Мо (Р) Соs α = 2 А ОАВ Соs α = 2 А Оав = Мz (Р) ,

10.3. Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей

Пусть в точке А с известными координатами х, у, z приложена сила Р (рис. 10. 1, д). Вектор-момент силы Мо (Р) относительно начала координат (т. О) перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ. Проведем также радиус-вектор r точки А относительно точки О. Выразим эти вектора через их проекции на оси координат:

r = xi + yj + z k,

Р = Хi + Yj + Zk ,

Мо (Р) = Моx i + Моу j + Моz k ,

где Х, У, Z и Моx , Моу , Моz – проекции на координатные оси

соответственно силы Р и момента Мо (Р).

В соответствии с выражением (10. 5) можно записать:

101

Принимая во внимание зависимость (4.3) и выражая векторное

10.4. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Чтобы выяснить, в каком кинематическом состоянии находится твердое

тело под действием системы сил (Р1, Р2, … , Рn ), произвольно расположенных в пространстве, ее необходимо преобразовать в более простую эквивалентную систему сил. Применяя метод Пуансо (см. п. 6. 1), приведем силы Р1, Р2, … , Рn к центру О (рис. 10. 2, а). В результате в центре О получим приведенные силы Р1′, Р2′, … , Рn′ , образующие систему сходящихся сил, и вектор-моменты М1, М2, … , Мn присоединенных пар, направленные перпендикулярно плоскостям треугольников, построенных на силе Рi (i = 1, 2 … , n) и точке О.

Геометрически суммируя вектора Рi′, а затем – вектора Мi, получаем:

Мo = ∑i=1Мо (Рi) .

Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором (R′), а геометрическая сумма вектор-моментов всех сил относительно центра приведения (т. О) – главным моментом пространственной системы сил (Мo).

103

Таким образом, силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору, и одной паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения, т.е.

(Р1, Р2, … , Рn) ~ R′, Мo.

Следует отметить, что как и в случае плоской системы сил, главный вектор не зависит, а главный момент пространственной системы сил зависит от выбора центра приведения.

10.5. Возможные случаи приведения пространственной системы сил к данному центру

1. Система сил приводится к одной паре. Если окажется, что R′ = 0, а Мо≠0, то система сил приводится к одной паре сил с моментом, равным главному моменту сил, который в данном случае (при R′ = 0) не зависит от выбора центра приведения, так как вектор-момент пары сил является свободным вектором.

2. Система сил приводится к равнодействующей. Если R′ ≠ 0, а Мо = 0, то система сил приводится к равнодействующей R, равной главному вектору и приложенной в центре приведения:

n

R = R′= ∑ Рi .

i=1

Пространственная система приводится к равнодействующей и в том случае, если R′ ≠ 0 и Мо ≠ 0, но R′ Мо. При этом равнодействующая R геометрически равна главному вектору R′, но линия действия ее не проходит через центр приведения, а отстоит от него на расстоянии, равном:

Мо d = -------

R′

Действительно, представим главный момент Мо в виде пары сил (R, R′′), действующей в одной плоскости с главным вектором R′ (рис. 10. 2, б), полагая при этом, что R = R′′ = R′ и R′′ = - R′. В результате получим:

(Мo , R′) ~ (R, R′, R′′) ,

но

(R′, R′′) ~ 0

и, следовательно,

(Мo , R′) ~ R ,

причем, равнодействующая R приложена не в центре приведения О, а в точке А, поскольку модуль главного момента равен:

Мo = М (R, R′′) = Rd = R′d ,

откуда

104

Мо

R′

В этом случае условием приведения системы сил к равнодействующей является равенство нулю скалярного произведения главного вектора и вектора главного момента сил. Действительно:

R′ . Мo = R′ Мo Соs (R′,^ Мo) ,

Rх′ Мoх + Rу′ Мoу +Rz′ Мoz = 0 ,

где Rх′ , Rу′ , Rz′ и Мoх , Мoу , Мoz – проекции на оси координат

соответственно вектора R′ и Мo.

3. Если окажется, что R′ ≠ 0 , Мо ≠ 0 и α = (R′,^ Мo) ≠ 90°, то система сил приводится или к силовому винту, или к двум скрещивающимся силам (т.е. к силам, лежащим в разных плоскостях). При этом скалярное произведение

R′. Мo ≠ 0, так как в выражении (10. 11) угол (R′,^ Мo) ≠ 90° и, следовательно,

Rх′ Мoх + Rу′ Мoу +Rz′ Мoz ≠ 0 .

Рассмотрим сначала приведение системы сил к силовому винту. Силовой винт (или динама) – это совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают левый силовой винт (рис. 10. 2, в) и правый силовой винт (рис. 10. 2, г).

Проведем через центр приведения О три взаимно перпендикулярные плоскости I, II, III (рис. 10. 2, д), располагая вектора R′ и Мo в плоскости I.

Разложим главный моментМo на составляющие Мo′ иМo′′ (рис. 10. 2, д):

Мo = Мo′ + Мo′′,

где

Мo′ = Мo Соs α , а Мo′′= Мo Sin α .

Представим вектор-момент М′′o в виде пары сил (R, R′′), действующих в плоскости II, принимая R = R′′ = R′ и R′′ = - R′, т.е.

М″o = Мo(R, R′′) ,

где

М″o = М (R, R′′) = R d = R′ d ,

Таким образом, данная система сил (Р1, Р2, … , Рn) будет эквивалентна следующим системам:

(Р1, Р2, … , Рn) ~ (R′, Мo) ~ (R′ , М″o , Мo′) ~ (R′, R′′, R, Мo′).

105

Но (R′, R′′) ~ 0, следовательно,

(Р1, Р2, … , Рn) ~ (R′, Мo)

Вектор-момент Мo′, как вектор свободный, переносим параллельно самому в точку приложения силы R и в результате получаем силовой винт в виде силы R, равной по модулю главному вектору (R = R′) и пары сил в плоскости, перпендикулярной R, с моментом, равным Мo′ = Мo Соs α.

Прямая Zо, по которой направлена сила R и вектор-момент М′o, называется

центральной осью данной системы сил. Поскольку Мo′ < Мo (катет меньше гипотенузы, см. рис. 10. 2, д), то модуль главного момента системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси, имеет наименьшее одно и то же значение. Поэтому центральную ось называют также осью наименьших моментов.

Приведем теперь данную систему сил к двум скрещивающимся силам. Заменим главный момент парой сил (Q, Q1), действующей в плоскости, перпендикулярной Мo, совмещая начало одной из сил пары с центром приведения О (рис. 10. 3, а), т.е.

Мo = М (Q, Q1),

где

Мo = М (Q, Q1) = Q d = Q1 d ,

откуда

Мо

Q = Q1 = ------- . d

Складывая геометрически силы R′ и Q1, найдем их равнодействующую:

R = R′ + Q1

В результате получаем:

(Р1, Р2, … , Рn) ~ (R′, Мo) ~ (R , Q) ,

т.е. данная система сил приводится к двум силам R и Q, лежащим в разных плоскостях, или – к двум скрещивающимся силам.

4. Система сил уравновешивается.

Если R′ = 0 и Мo = 0, то пространственная система сил находится в равновесии. Другими словами, условием равновесия произвольной системы сил в пространстве является равенство нулю главного вектора и главного момента сил.