1.2.Аксиомы статики

9

Следствие. Не изменяя модуль и направление силы, приложенной к твердому телу, ее можно переносить по линии действия в любую точку тела.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила Р (рис. 1.2, б). На линии действия силы Р в точке В тела приложим уравновешенные силы Р1 и Р2, модули которых равны модулю силы Р, т.е. Р1 = Р2 = Р. Согласно третьей аксиоме статики (Р, Р1, Р2) ~ Р. На основании этой же аксиомы исключим уравновешенные силы Р1 и Р2, так как (Р Р2) ~ 0. В результате получаем Р1 ~ Р.

Таким образом, в статике твердого тела сила рассматривается как

скользящий вектор.

4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и геометрически изображается диагонально параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.2, в).

Перенесем силы Р1 и Р2 в точку пересечения их линий действия (т. А) и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет равнодействующей R этих сил, т.е. (Р1, Р2) ~ R, а геометрически это равенство записывается в виде:

R = Р1 + Р2.

Модуль равнодействующей определяется по известной из геометрии формуле:

R = \/ Р12 + Р22 + 2 Р1 Р2 Cos γ ,

где γ – угол между силами Р1 и Р2.

Если силы Р1 и Р2 действуют по одной прямой в одну сторону, то

γ = 0 и R = Р1 + Р2.

При взаимно противоположных силах γ = π , Соs π = -1,

Р12 + Р22 + 2 Р1 Р2 Cos γ = Р12 – 2Р1Р2 + Р22 = (Р1 - Р2)2 и R = Р1 - Р2

Если силы взаимно перпендикулярны, γ = π / 2 и R = \/ Р12 + Р22 . Используя параллелограмм сил, можно решить и обратную задачу –

разложить заданную силу R на две составляющие силы Р1 и Р2 по произвольно выбранным направлениям (рис. 1.2, в). Тогда, используя теорему синусов, получим:

5.Аксиома равенства действия и противодействия Силы Р1 и Р2, с

которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю (Р1 = Р2) и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.2, г).

При этом силы Р1 и Р2 не уравновешиваются, так как приложены к разным телам и векторное равенство Р1 = - Р2 для них не применимо, поскольку является условием равновесия двух сил, приложенных к одному телу.

6.Аксиома сохранения равновесия сил, приложенных к деформируемому и абсолютно твердому телу. Равновесие сил, приложенных к деформируемому телу сохраняется и в том случае, если его считать абсолютно твердым (рис. 1.2, д). Обратное положение аксиомы в отдельных случаях не соблюдается.

Например, силы Р1 и Р2, приложенные к затвердевшей нити (стержню) (рис. 1.2, е) находятся в равновесии (Р1 = - Р2). Если же нить вновь станет гибкой, то равновесие сил Р1 и Р2 нарушается.

1.3. Теорема о равновесии трех сил

Если тело под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, находится в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке (рис. 1.2, ж).

Пусть на тело действует плоская уравновешенная система трех сил: (Р1, Р2, Р3) ~ 0. Перенесем силы Р1 и Р2 в точку пересечения их линий действия (т. О) и сложим по правилу параллелограмма: R = Р1 + Р2. Тогда на тело, находящееся в равновесии, будет действовать сила R, проходящая через точку О, и сила Р3, линия действия которой согласно аксиоме о равновесии двух сил (Р3 = - R ) должна также проходить через точку О, т.е. линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке.

1.4. Проекция силы на ось и плоскость

Проекцией силы на ось называется скалярная величина со знаком плюс или минус, равная отрезку оси между перпендикулярами, проведенными из начала и конца силы.

Определим проекции силы Р1 на взаимно перпендикулярные оси х и у (рис. 1.3, а):

Р1,х = Х1 = +а1b1 = Р1 Cos α1

Р1,у = У1 = +а′1b′1 = Р1 Cos (90° - α1 ) = Р1 Sin α1

Обе проекции взяты со знаком плюс, так как направления от начала проекций (а1,а′1) к их концу (b1,b′1) совпадают с положительными направлениями осей х и у.

12

Проекция силы Р2 (рис. 1.3, а) на ось х равна:

Р2,х = Х1 = - а2 b2 = - Р2 Cos (180° - α) = Р2 Соs α2

Проекция Х2 отрицательна, так как направление от начала проекции а2 к ее концу b2 противоположно положительному направлению оси х.

Проекция сил Р3 и Р4 на оси х и у (рис. 1.3, а) соответственно равны:

Р3, х = Х3 = 0 , Р3, у = У3 = Р3 , Р4, х = Х4 = -Р4 , Р4, у = У4 = 0 .

Таким образом, проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца вектора силы.

Рассмотрим декартову систему координат в пространстве и определим проекцию силы Р на плоскость хоу (рис. 1.3, б):

Рхоу = Р’

Модуль вектора Р′ равен

Р′ = Р Соs β ,

где β – угол между направлением силы Р и ее проекцией Р’ на плоскость

хоу.

Проекция силы Р на оси х, у и z соответственно равны:

Рх = Р′ Cos α = Р Соs β Соs α = Х ,

Ру = Р′ Sin α = Р Соs β Sin α = У , Рz = Р Sin β = Z .

Если известны проекции Х, У и Z силы Р на оси координат х, у и z, то сила как вектор определяется по известной из аналитической геометрии формуле:

а ее направление определяется с помощью направляющих косинусов:

Cos (Р, i ) = X/P, Cos (Р, j ) = У/P, Cos (Р, к ) = Z/P. (1.3)