89

Из предыдущего следует, что реакция опорной поверхности будет складываться из двух составляющих R = N + F. Она составляет некоторый угол ϕс нормальной реакцией N. При изменении силы трения скольжения в покое F

от нуля до Fmax сила R будет меняться от N до Rmax = N + Fmax , а угол ϕ будет расти от нуля до некоторого максимального значения ϕmax (рис. 9. 1, б).

Угол ϕmax между направлениями нормальной реакции N и полной реакции Rmax (соответствующей максимальному значению силы трения скольжения в покое Fmax) называется углом трения.

Fmax

tg ϕmax = -------- , но так как Fmax = f N , то N

f = tg ϕmax , т.е.

коэффициент трения скольжения в покое равен тангенсу угла трения.

9.2. Конус трения

Тело, опираясь на шероховатую поверхность, может перемещаться вдоль нее в любом направлении. При этом линии действия опорных реакций образуют некоторую коническую поверхность (рис. 9. 2, а).

Коническая поверхность, представляющая собой геометрическое место возможных максимальных опорных реакций в точке соприкасания тел, называется конусом трения. Покажем, что внутренняя часть конуса трения представляет собой область равновесия, т.е. никакая сила, линия действия которой лежит внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с шероховатой поверхности.

Пусть сила Q, действующая на тело, составляет с нормалью к опорной поверхности угол α (рис. 9. 2, б). Разложим силу Q на касательную и нормаль:

Q = Q1 + Q2

Если тело под действием силы Q находится в равновесии, то

N = Q2 и Q1 ≤ Fmax , причем Q1 = Q2 tg α = N tg α; Fmax = N f = N tg ϕmax

Полная реакция связи Rmax = N + Fmax и совпадает с образующей конуса трения.

Таким образом, равновесие тела возможно, если

N tg α ≤ N tg ϕmax , т.е.

tg α ≤ tg ϕmax или α ≤ ϕmax

Рассмотрим возможные случаи.

1.Имеет место равновесие, если ϕmax > α (линия действия силы Q проходит внутри конуса трения).

2.Неустойчивое равновесие, если ϕmax = α (линия действия силы Q совпадает с образующей конуса трения).

90

3.Тело под действием силы Q находится в движении, если ϕmax < α (линия действия силы Q проходит вне конуса трения).

9.3.Примеры на равновесие сил, приложенных к твердому телу при

наличии трения

Пример 9. 3. 1

Определить максимальную величину груза Р, удерживающего тело весом G на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α, который больше угла трения ϕ (рис. 9. 3).

Решение:

Необходимо иметь в виду, что направление силы трения F зависит от величины груза Р. При максимальной возможной величине этого груза Рmax сила трения направлена вниз по наклонной плоскости, так как под действием реакции нити груз стремится перемещаться вверх по наклонной плоскости (рис. 9. 3).

Составим уравнения равновесия сходящихся сил, действующих на тело, когда оно удерживается в предельном состоянии покоя максимальным грузом

Рmax.

Так как Fmax = f N из первого уравнения получаем:

Рmax = f N + G Sin α = f G Cos α + G Sin α

Пример 9. 3. 2

Определить, при каких значениях угла наклона α груз, лежащий на наклонной плоскости, будет оставаться в равновесии, если его коэффициент трения скольжения о плоскость равен f (рис. 9. 4).

Решение:

В задаче требуется определить все положения равновесия груза. Для этого найдем сначала предельное положение равновесия, при котором угол α равен αmax. В этом положении (рис. 9. 4) на груз действуют сила тяжести Р, нормальная реакция N и сила трения Fmax. Строя из перечисленных сил замкнутый силовой треугольник, находим из него, что

92

Fmax = N tg αmax

Но, с другой стороны, Fmax = f N, а tg ϕ = f Следовательно,

наклонной плоскости, остается в равновесии, равен углу трения ϕ.

Пример 9. 3. 3

Пренебрегая весом лестницы АВ (рис. 9. 5), найти при каких значениях угла α человек может подняться по лестнице до ее конца В, если угол трения скольжения лестницы о пол и стену равен ϕ.

Решение:

Рассмотрим предельное положение равновесия лестницы и применим для решения геометрический метод. В предельном положении на лестницу действуют реакции RА и Rв пола и стены, отклоненные от нормалей к этим плоскостям на угол трения ϕ. Линии действия реакций пересекаются в точке С. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р (равная весу человека), также должна пройти через точку С. Поэтому в положении, показанном на рис. 9. 5, выше точки Д человек подняться не может. Чтобы человек мог подняться до точки В, линия действия силы RА должна быть направлена вдоль АВ, т.е. когда угол α ≤ ϕ.

Следовательно, человек может подняться по лестнице до ее конца тогда, когда она образует со стеной угол, не превышающий угла трения лестницы о пол. Трение о стену при этом роли не играет, т.е. стена может быть гладкой.

Пример 9. 3. 4

Однородный брус АВ весом Р = 10 кН удерживается веревкой ВД под углом α к шероховатой поверхности вертикальной стены, причем АД = АВ. Определить в предельном состоянии покоя угол α, натяжение веревки и нормальную реакцию стены, если коэффициент трения скольжения между брусом и стеной f = 0,5 (рис. 9. 6) самостоятельно.

Ответ: α = 53°18′ ; Т = 8,97 кН ; RА = 4,47 кН.

Пример 9. 3. 5

Однородный тонкий брус АВ весом Р = 10 кН опирается концом А на вертикальную стену и точкой Д на ребро. На конце подвешен груз весом G = 5 кН. Коэффициент трения между брусом и стеной fА = 0,3 и между брусом и ребром fД = 0,2.

Определить наименьшую длину бруса АВ, при которой конец А не скользит вниз, а также реакции опор А и Д (рис. 9. 7) самостоятельно.

Ответ: АВ = 3,15√5 ; NА = 3,8 кН ; NД = 6,3√5 кН.

Пример 9. 3. 6

Определить какую силу Q, направленную под углом α = 30° к горизонту, надо приложить к грузу весом Р = 10 кН, лежащему на горизонтальной плоскости (рис. 9. 8), чтобы сдвинуть его с места, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость f = 0,6.

Ответ: Q = 5,2 кН.

94

Пример 9. 3. 7

К вертикальной стене приставлена лестница АВ (рис. 9. 9), опирающаяся нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения скольжения лестницы о стену f1 = 0,3, о пол f2 = 0,2. Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен Р = 10 кН и приложен в точке С, которая делит длину лестницы в отношении m : n = 1 : 2. Определить наибольший угол α, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакции NА стены и Nв пола для этого значения α.

Ответ: α = 34°18′ ; NА = 1,87 кН ; Nв = 9,43 кН.

Пример 9. 3. 8

Однородный брус опирается в точке А на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке В веревкой (рис. 9. 10). Коэффициент трения скольжения бруса о пол равен f = 0,5. Угол α, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле β наклона веревки к горизонту брус начнет скользить?

Ответ: β = 76°.

Пример 9. 3. 9

Однородный стержень своими концами А и В может скользить по негладкой окружности радиуса r = 40 см (рис. 9. 11). Расстояние ОС стержня до центра О окружности, расположенной в вертикальной плоскости, равно b = 15 см. Коэффициент трения скольжения между стержнем и окружностью равен f = = 0,2. Определить для положений равновесия стержня угол ϕ, составляемый прямой ОС с вертикальным диаметром окружности.

Ответ: ϕ = 61°.

Пример 9. 3. 10

Определить наименьший вес тела 1, при котором оно скользит вниз по поверхности ДЕ, если вес груза 2 равен 320 Н, коэффициент трения скольжения равен 0,2 (рис. 9. 12).

Ответ: 979 Н.

Пример 9. 3. 11

Однородный брус АВ опирается в точке А на гладкую стену, а в точке В на негладкий пол. (рис. 9. 13). Определить наименьший коэффициент трения скольжения между брусом и полом, при котором брус остается в указанном положении в покое.

Ответ: f = 0,5.

Пример 9. 3. 12

По наклонной плоскости скользит брус А весом 200 Н и натягивает трос. Брус В весом 400 Н лежит на наклонной плоскости (рис. 9. 14). Коэффициенты трения скольжения f = 0,5 и f = 2/3. Будет ли система в дальнейшем находиться в покое? Найти натяжение Т троса и величины сил трения.

Ответ: система остается в покое; Т = 13,4 Н; FА = 86,6 Н; Fв = 213,4 Н.