29

Пример 4.1

Определить моменты сил Р1 = 10 кН, Р2 = 20 кН, Р3 = 30 кН, приложенных в вершинах квадрата АВСО (рис. 4. 3, а), относительно точки О, при стороне квадрата а = 0,2 м.

Решение:

1) Определяем момент силы Р1 = 10 кН относительно точки О.

Мо (Р1) = - Р1 . а = -10 . 0,2 = -2 кНм

2) Определяем момент силы Р2 = 20 кН относительно точки О.

Мо (Р2) = Р2 . ОВ = 20 . а√2 = 5,66 кНм

3) Определяем момент силы Р3 = 30 кН относительно точки О.

Мо (Р3) = - Р3 . ОД = -30 . а Соs 30° = -5,20 кНм

Пример 4.2

Определить моменты сил Р1 = 10 кН, Р2 = 15 кН, Р3 = 30 кН, приложенных в вершинах А и В прямоугольного равнобедренного треугольника (рис. 4. 3, б), относительно точки О, при а = 0,3 м.

Решение:

Определяем момент силы Р1 = 10 кН относительно точки О.

Мо (Р1) = Р1 . ОС = 10 . а Sin 45° = 2,12 кНм Определяем момент силы Р2 = 15 кН относительно точки О.

Мо (Р2) = Р2 . ОД = 15 . а Sin 60° = 3,9 кНм Определяем момент силы Р3 = 30 кН относительно точки О.

Мо (Р3) = Р3 . 0 = 0

Пример 4.3

Определить моменты сил Р1 = 15 кН, Р2 = 20 кН, Р3 = 40 кН, приложенных в вершинах А, В, С прямоугольника (рис. 4. 3, в) и треугольников (рис. 4. 3, г, д, е), относительно точки О, при а = 0,6 м самостоятельно.

Результаты решения:

Рис. 3в Мо (Р1) = 9 кНм, Мо (Р2) = -10,39 кНм, Мо (Р3) = -33,94 кНм Рис. 3г Мо (Р1) = -4,5 кНм, Мо (Р2) = -20,78 кНм, Мо (Р3) = 20,78кНм Рис. 3д Мо (Р1) = -7,79 кНм, Мо (Р2) = -12 кНм, Мо (Р3) = 20,78 кНм Рис. 3е Мо (Р1) = -7,79 кНм, Мо (Р2) = -18 кНм, Мо (Р3) = -24 кНм

4. 2. Момент силы относительно точки в пространстве

Момент силы относительно точки в пространстве определяется вектором, приложенным в этой точке, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо.

30

Этот вектор перпендикулярен к плоскости, проведенной через моментную точку и линию действия силы и направлен так, чтобы вращение плоскости (если смотреть с конца вектора) происходило против хода часовой стрелки (рис. 4.4). Если из моментной точки О в точку приложения силы провести радиус – вектор r (рис. 4.4), то вектор момента силы можно выразить векторным произведением.

Модуль момента силы

Мо (Р) = r . р Sin α = Р . d

5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

5. 1. Пара сил. Момент пары сил на плоскости

Парой сил называется совокупность двух параллельных сил (линии действия которых не совпадают), равных по модулю и направленных в противоположные стороны.

Плоскость, в которой действуют силы, называется плоскостью действия пары.

Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары.

Если пару сил приложить к телу, находящемуся в покое, то оно будет совершать вращательное движение.

Пару сил нельзя уравновесить силой, так как она не имеет равнодействующей. Уравновесить пару можно только с помощью другой пары.

Вращательное действие пары на твердое тело характеризуют моментом пары.

Момент пары сил на плоскости – это скалярная величина, равная произведению одной из сил на плечо пары со знаком плюс или минус

Мо (Р1, Р1′) = ± Р1 . d

Если вращение плоскости действия пары происходит против хода часовой стрелки, то момент пары считаем положительным, если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Выразим моменты пар сил на плоскости (рис. 5. 1, а):

Мо (Р1, Р1′) = Р1 . d1 Мо (Р2, Р2′) = - Р2 . d2

Поскольку пару сил характеризуют только моментом и в расчетах нужен лишь момент пары сил, то обычно для обозначения пары сил пользуются дуговой стрелкой в плоскости действия пары, которая показывает направление вращения пары и модуль момента М = М (Р1, Р1′) (рис. 5. 1, б). Численно момент пары можно определить как удвоенную площадь треугольника ОАВ,

31

основанием которого является одна из сил Р1, а вершиной О – точка приложения другой силы Р1′ (рис. 5. 1, б).

5. 2. Момент пары сил в пространстве. Эквивалентные пары

Пару сил характеризуют:

-плоскость действия;

-величина момента пары;

-направление вращения.

Момент пары в пространстве зависит от расположения плоскости действия и от направления, в котором пара стремится вращать тело, т.е. является векторной величиной.

Вектор, определяющий момент пары, называют вектор-моментом. Вектормомент пары равен по модулю произведению силы пары на ее плечо и направлен перпендикулярно к плоскости действия пары таким образом, чтобы вращение плоскости происходило против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 5. 2).

Эквивалентными называются пары, оказывающие на твердое тело одинаковое действие, т.е. вектор-моменты которых геометрически равны. Пары сил, расположенные в одной плоскости эквивалентны, если их моменты численно равны и совпадают по направлению вращения (рис. 5. 3).

Пара (Р1, Р1′) и пара (Р2, Р2′) эквивалентны, так как М (Р1, Р1′) = 20 кНм иМ (Р2, Р2′) = 20 кНм, а направление вращения одинаково (против хода часовой стрелки).

Определить эквивалентные пары на рис. 5. 4 самостоятельно.

Ответ. Первая и третья пары эквивалентны. Четвертая и шестая пары эквивалентны.

5. 3. Теоремы об эквивалентности пар

Теорема 1

Всякую пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно заменить другой парой, расположенной в той же плоскости, имеющей одинаковое с заданной парой направление вращения и равный по модулю момент.

Доказательство

Пусть на тело действуют пара сил (Р1, Р1′) в точках А и В (рис.5.5). Перенесем эти силы в точки Д и С, лежащие на их линиях действия. Приложим в точках С и Д две взаимно уравновешенные силы Т1 = - Т1′. Найдем равнодействующие:

R1 = Р1 + Т1, R1′ = Р1′ + Т1′

Получим новую пару сил (R1 , R1′). У пар (Р1, Р1′) и (R1 , R1′) одинаковое направление вращения.

Покажем, что обе пары имеют одинаковый по величине момент. M (Р1, Р1′) = Р1 . d1 M (R1, R1′) = R1 . d2

32

Cos α

Таким образом, эти пары эквивалентны.

Следствия:

1.Действие пары сил на тело не изменится, если не изменяя момента пары переместить ее или повернуть в любое положение в плоскости действия

(рис.5.6).

2.Действие пары на тело не изменится, если не изменяя момента пары изменить силы пары и ее плечо. Во сколько раз уменьшаем силу, во столько раз увеличиваем плечо, и наоборот (рис. 5. 7).

Теорема

Действие пары сил на твердое тело не изменится, если пару сил перенести из данной плоскости в любую другую параллельную плоскость.

Доказательство

Рассмотрим твердое тело, на которое в плоскости I действует пара сил (Р1, Р1′). В произвольной плоскости II, параллельной плоскости I, проведем отрезок СД, параллельный и равный отрезку АВ (рис. 5. 8). В точках С и Д приложим уравновешенные силы Р2 = - Р2′ и Р3 = - Р3′. Модули этих сил выберем равными модулям сил заданной пары

Р1 = Р1′ = Р2 = Р2′ = Р3 = Р3′

Сложив силы Р′1 и Р3′, а также Р1 и Р2, найдем их равнодействующие R1 и R1′, которые приложены в точке пересечения диагоналей параллелограмма АВСД, равны по модулю и противоположно направлены.

Силы R1 и R1′ образуют уравновешенную систему сил, т.е. R1 + R1′ = 0, поэтому их можно устранить. Оставшаяся пара сил (Р2′, Р3) эквивалентна заданной, но расположена в параллельной плоскости.

Следствие

Вектор-момент пары является свободным вектором, т.е. его точку приложения можно переносить в любую точку тела, не изменяя модуль и направление.