129

3. Решаем систему уравнений:

ХА + 10 . 0,5 = 0

УА + УВ - NКЕ = 0

ZА + ZВ – 40 – 15 – 10 . √3/2 = 0 NКЕ . 1 + 15 . 4 + 40 . 4/2 = 0

- ZB . 6 – 2 + 40 . 6/2 + 10 . √3/2 . 4 = 0 УB . 6 + 4 - NКЕ . 6 = 0

и определяем составляющие опорных реакций в сферическом шарнире А:

ХА = - 5 кН ; УА = - 280,667 кН ;ZА = 30,72 кН ;

в цилиндрическом шарнире В:

УВ = 140,67 кН ; ZВ = 32,94 кН и в стержне КЕ – NКE = - 140 кН.

Знак минус означает, что направления составляющих опорных реакций ХА, УА, и NКЕ будут противоположны первоначально принятым направлениям.

Пример 10. 13

Однородные, тонкие прямоугольные плиты жестко соединены между собой под прямым углом, закреплены сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем КЕ (рис. 10. 16, 10. 17). Веса плит Р1 = 10 кН и Р2 = 5 кН. В плоскости одной из плит действует пара сил с моментом М = 6 кНм заданного направления. По граням плит в точке G приложены силы F = 15 кН под углом α. Определить реакции опор А, В и невесомого стержня КЕ – NКE самостоятельно.

Результаты решения:

Рис. 10. 16, а. ХА = 14,226 кН ; УА = 20,04 кН ;

ZА = 14,286 кН ; ХВ = - 9,193 кН ; ZВ = - 6,786 кН ; NКE = 17,32 кН (растяжение).

Рис. 10. 16, б. ХА = - 2,987 кН ; УА = - 15,0 кН ;

ZА = 5,0 кН ; ХВ = 0,10 кН ; ZВ = 5,0 кН ; NКE = 5,77 кН (сжатие).

Рис. 10. 16, в. ХА = - 10,861 кН ; УА = - 2,805 кН ;

ZА = 25,607 кН ; ХВ = 14,367 кН ; ZВ = - 7,803 кН ;

NКE = 3,506 кН (сжатие).

11. ЦЕНТР ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

11. 1. Сложение системы параллельных сил. Центр параллельных сил

Рассмотрим пространственную систему параллельных сил (Р1, Р2, Рi,…, Рn) (рис. 11. 1), приложенных в точках Аi (i = 1, 2, … n) с координатами (хi, уi, zi), для которой определим положение центра в зависимости от величин заданных сил и координат точек их приложения. Для этого последовательно будем

130

складывать заданные силы, определяя направления, величины и точки приложения равнодействующих, используя теорему Вариньона. В частности, равнодействующая параллельных сил Р1 и Р2, будет R1 = Р1 + Р2 и приложена в точке С1. Величина момента R1 относительно точки А, равная R1 . А1С1, должна быть равна величине момента силы Р2 относительно точки А1, то есть Р2 . А1А2 = R1 . А1С1. Аналогично R1 . А2С1 = Р1 . А1А2. Это дает возможность определить координаты точки приложения равнодействующей R1 – А1С1 = Р2 . А1А2/R1, А2С1 = Р1 . А1А2/R1. Производим суммирование сил R1 и Р3, определяя их равнодействующую R2 = R1 - Р3 = Р1 + Р2 - Р3 и координаты ее точки

приложения С1С2 = Р3 . А3С1/R2, С2А3 = R1 . А3С1/С2А3. Выполняя суммирование для всех сил системы, получим равнодействующую системы параллельных сил

n

R = ∑ Рi

i=1

в виде алгебраической суммы ее составляющих и приложенную в точке С с координатами (Хс, Ус, Zс). Легко показать, воспользовавшись теоремой Вариньона, что координаты точки приложения равнодействующей R не изменятся при повороте всей системы параллельных сил относительно точек приложения на произвольный угол α. Поэтому точка С называется центром параллельных сил, положение которого определяется координатами точек приложения сил, их величинами и не зависит от направления сил в пространстве.

Рассмотрим систему параллельных сил, линии действия которых параллельны оси z в прямоугольной системе координат. Согласно теоремы Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси х, получим:

n

Мх (R) =i=1∑ Мх (Рi) ,

R . Ус =i=1∑ Рi . уi ,

поэтому координата Ус центра параллельных сил будет:

n

Ус =i=1∑ Рi . уi / R .

Аналогично, составляя момент равнодействующей относительно оси у

132

При повороте всех сил на угол π/2, получим систему сил параллельно оси у. Составляя моменты равнодействующей и составляющих относительно оси х и применяя теорему Вариньона, получим координаты центра параллельных сил

n

Zс =i=1∑ Рi . zi / R .

Все вычисленные, согласно полученным выражениям, значения сил и координаты точек их приложения определяются алгебраически.

11.2. Центр тяжести твердого тела и координаты центра тяжести

Рассмотрим объемное твердое тело (рис. 11. 2). На каждую его частицу в виде малого объема Vi действует сила тяжести Рi (i = 1, 2, … n). Силы тяжести всех частиц тела (Р1, …, Рi,…, Рn) образуют пространственную систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система сил всегда приводится к равнодействующей:

где i = 1, 2, …n – число частиц твердого тела; Рi - величина силы тяжести одной частицы.

Центром тяжести С твердого тела называется центр параллельных сил тяжести (Р1, …, Рi,…, Рn), то есть геометрическая точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести (Р1, …, Рi,…, Рn) при любом положении тела в пространстве. Поэтому координаты центра тяжести твердого тела С (Хс, Ус, Zс) определяются как координаты центра параллельных сил:

n

n

Zс =i=1∑ Рi . zi / Р .

Эти выражения являются приближенными, так как координаты хi, уi, zi точки приложения силы тяжести Рi частицы малого объема Vi определяются с точностью до размеров и объема этой частицы.

133

n

Zс =i=1∑ Vi . zi / V.

В частном случае для плоских однородных тел в виде тонких фигур постоянной толщины h и различной формы координаты центра тяжести будут

(рис. 11. 3, а):

n

где

n

F = ∑i=1Fi - площадь всей фигуры, Fi - площадь отдельной ее частицы.

называются статическими моментами площади плоской фигуры относительно осей х и у соответственно. Поэтому

Для линейного тела, расположенного в пространстве (рис. 11. 3, б), представляющего собой в частности пространственный стержень постоянного поперечного сечения или пружину, координаты центра тяжести будут:

n

Хс =i=1∑ ℓi . хi / L ;