60

7. РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ

Составной или сочлененной системой называется система, состоящая из нескольких стержней, дисков, звеньев или частей, соединенных между собой шарнирами (Ш.).

Если шарнир соединяет два стержня или две части системы, то его называют простым (рис. 7. 1 – Ш1 и Ш2). Если же шарнир соединяет более двух стержней, дисков или частей системы, то его принято называть сложным или кратным (рис. 7. 1). Сложный шарнир эквивалентен m – 1 простым шарнирам (где m – число стержней или дисков, соединенных сложным шарниром).

При действии на систему нагрузки в шарнирах, соединяющих между собой стержни или диски, возникают силы взаимодействия между отдельными частями, которые на основании аксиомы о равенстве действия и противодействия будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению.

Следовательно, главный вектор и главный момент всех усилий в шарнирах относительно любого центра равен нулю.

7. 1. Аналитические условия равновесия составных систем

Расчленяя в шарнирах составную систему, которая находится под действием плоской системы произвольно расположенных сил, на отдельные стержни, диски, и рассматривая их равновесие, для каждого стержня, диска можно составить по три независимых уравнения равновесия в любой из трех форм.

В этом случае необходимо показывать все силы в шарнирах, с которыми действуют отброшенные части системы на рассматриваемый стержень или диск и учитывать их в уравнениях равновесия.

Таким образом, для составной системы, состоящей из n дисков или стержней, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, можно составить 3n независимых уравнения равновесия, решением которых определяются реакции и усилия в шарнирах (пример 7. 1).

Однако, такой подход к определению опорных реакций в составных системах является трудоемким и не всегда целесообразным по причине определения усилий в шарнирах.

Поэтому для определения реакций в составных системах целесообразно использовать уравнения равновесия в одной из трех форм и условия шарнирного соединения дисков, стержней, сводящихся к равенству нулю

момента от действия односторонних сил, в виде:

одн.сил.

∑ Мш= 0.

61

Следовательно, для составной статически определимой системы, имеющей Ш простых шарниров и находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, можно составить Ш + З уравнений равновесия, решением которых и определяются опорные реакции (примеры 7.2, 7.3)

При этом необходимо помнить, что положение осей проекции и моментных точек следует выбирать так, чтобы в уравнение входило только одно неизвестное и каждое неизвестное по возможности определялось независимо друг от друга.

Пример 7. 1

От заданной нагрузки определить реакции в опорах и усилия в шарнирах

(рис. 7. 1).

Решение

Данная сочлененная система состоит их трех частей (двух дисков АШ1 Ш2, Ш2С и стержня Ш1В), соединенных двумя простыми шарнирами Ш1 и Ш2 (рис. 7. 1). Составим три уравнения равновесия для каждой из этих частей.

Для диска АШ1 Ш2.

1.∑ Х= ХА - Хш1 + Хш2 = 0,

2.∑ У= УА + Уш1 - Уш2 – 2 . 9 = 0,

3.∑ МА = 20 – 2 . 9 . 4 . 5 + Хш1 . 4 + Уш1 . 6 - Хш2 . 4 - Уш2 . 9 = 0.

Неизвестными величинами являются составляющие опорной реакции ХА, УА и усилий в шарнирах Хш1, Уш1, Хш2, Уш2.

Для стержня Ш1В.

4.∑ Х= Хш1 + ХВ – 40 Сos 30° = 0,

5.∑ У= - Уш1 + УВ – 40 Сos 60° = 0,

6.∑ МВ = - Хш1 . 4 + 40 Сos 30° . 2 = 0.

Неизвестными величинами являются составляющие опорной реакции ХВ, УВ и усилия в шарнире Хш1, Уш1.

Для диска Ш2С.

7.∑ Х= - Хш2 + RС = 0,

8.∑ У= Уш2 – 2 . 3 = 0,

9.∑ МС = 2 . 3 . 1,5 + Хш2 . 2 - Уш2 . 3 = 0.

Неизвестными величинами являются опорная реакция RС и составляющие усилия в шарнире Хш2, Уш2.

Таким образом, рассмотрев равновесие всех трех частей системы, имеем 9 уравнений с 9 неизвестными, решением которых и определяем искомые усилия:

ХА = 12,82 кН; УА = 13,38 кН; ХВ = 17,32 кН; УВ = 30,62 кН; RС = 4,5 кН; Хш1 = 17,32 кН; Уш1 = 10,62 кН; Хш2 = 4,5 кН; Уш2 = 6 кН.

Тогда, реакции RА, RВ и усилия в шарнирах Rш1, Rш2 будут:

Rш1 = √ Хш12 + Уш12 = 20,317 кН ; Rш2 = √ Хш22 + Уш22 = 7,5 кН .