106
10.6. Зависимость между главным моментом пространственной системы сил относительно данного центра и главным моментом сил
относительно оси, проходящей через этот центр
Проектируя главный момент силы Мo и вектор-момент Мo (Рi) = Мi каждой силы Рi (i = 1, 2, … , n) на ось z, проходящую через центр приведения О (рис. 10. 3, б), получаем:
Мoz = Мо Соs α ,
Мiz = Мi Соs αi = Мо(Рi) Соs αi ,
где Мoz, Мiz соответственно проекция вектора Мo и вектора Мi на ось z; α, αi , - углы между осью z и векторами Мo и Мi.
Вектор Мo согласно зависимости (10. 9) является равнодействующей векторов Мi (рис. 10.2,а). Принимая во внимание теорему о проекции равнодействующей на ось (см. п. 3.1), а также выражения (10. 5) и (10. 4), получаем:
n |
n |
n |
|
Мoz = ∑ Мiz = ∑ Мо(Рi) Соs αi = ∑ Мz (Рi) = Мz |
|
||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Мoz = Мz = ∑ Мz (Рi) , |
(10. 12) |
|
|
i=1 |
|
т.е. проекция главного момента сил относительно данного центра на ось, проходящую через центр, равна главному моменту всех сил относительно этой оси.
10.7. Выражения главного вектора и главного момента пространственной системы сил через их проекции на оси координат
Выразим сначала главный вектор сил через его проекции на координатные оси (рис. 10. 4, а):
R′ = R′x i + R′у j + R′z k ,
где R′x , R′у , R′z – проекции главного вектора на оси х, у, z. В соответствии с выражениями (10. 9), (3.2) и (3.3) они равны:
n |
n |
n |
|
R′x = ∑ Хi , |
R′у = ∑ Уi , |
R′z = ∑ Zi , |
(10. 13) |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
где Хi, Уi, Zi - проекции силы Рi на оси х, у и z.
Если проекции всех сил на оси координат известны, то модуль главного вектора определится как:
n |
n |
n |
|
R′ = √( R′x)2 +( R′у)2 + (R′z)2 = (∑ Хi)2 + (∑ Уi)2 + (∑ Zi)2 , |
(10. 14) |
||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
107
а направление главного вектора определится через его направляющие косинусы:
R′x |
R′у |
R′z |
|
Соs ( i,^R′) = ---- , Соs ( j,^R′) = ---- , Соs ( k,^R′) = ---- , |
(10. 15) |
||
R′ |
R′ |
R′ |
|
Аналогично выражается и главный момент пространственной системы сил через его проекции на оси координат (рис. 10. 4, б):
Мо = Мох i + Моу j + Моz k ,
где Мох , Моу , Моz – проекции вектора на оси х, у, z. Принимая во внимание выражение (10. 12), получаем:
n Мoz = Мх = ∑i=1Мх
n Мoу = Му = ∑i=1Му
n
Мoz = Мz = ∑ Мz i=1
(Рi) ,
(Рi) , |
(10. 16) |
(Рi) ,
Тогда модуль и направление главного момента можно определить по следующим формулам:
__________________________ |
_______________________ |
|
|
Мо = √М2ох + М2оу + М2оz = √М2х + М2у + М2z = |
|
||
n |
n |
n |
|
= (∑ Мх (Рi))2 + (∑ Мх (Рi))2 |
+ (∑ Мх (Рi))2 , |
(10. 17) |
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
Мoz |
Мoу |
Мoz |
|
Соs ( i,^ Мо) = ----- |
, Соs ( j,^ Мо) = ----- , Соs ( k,^ Мо) = ----- , |
(10. 18) |
|
Мо |
Мо |
Мо |
|
10.8. Уравнения равновесия пространственной системы сил
Условиями равновесия пространственной системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного момента сил относительно произвольно выбранного центра приведения:
R′ = 0 , Мо = 0 ,
или
R′ = 0 и Мо = 0 ,
108
a |
|
z |
|
|
|
|
б |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rz' |
|
R' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Moz |
Mo |
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
o |
j |
Ry' |
|
y |
|
o j |
Moy |
|
|
|
|
Mox |
|||||
|
Rx' |
i |
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
P1 |
|
|
|
PN |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
PN |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
o |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 MOZ |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R'' |
|
|
|
|
|
|
A |
d |
|
O |
|
|
|
|
|
|
0Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
R' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
y
y
Рис 10.4
109
Приравнивая нулю выражения (10. 14) и (10. 17) получаем:
n |
n |
|
n |
|
|
(∑ Хi)2 |
+ (∑ Уi)2 |
+ (∑ Zi)2 = 0 |
(10. 19) |
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
(∑ Мх (Рi))2 |
+ (∑ Мх (Рi))2 |
+ (∑ Мх (Рi))2 = 0, |
(10. 20) |
||
i=1 |
|
|
i=1 |
i=1 |
|
откуда получаем шесть уравнений равновесия для произвольной системы сил в пространстве:
n
∑ Хi = 0 ,
i=1
n
∑ Уi = 0 ,
i=1
n
∑ Zi = 0 ,
i=1
n
∑i=1 Мх (Рi) = 0 ,
n |
|
i=1∑ Му (Рi) = 0 , |
(10. 21) |
n
∑ Мz (Рi) = 0 .
i=1
Таким образом, для равновесия произвольной системы сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую координатную ось и сумма моментов всех сил системы относительно каждой координатной оси равнялись нулю.
Если силы параллельны друг другу в пространстве, то, ориентируя силы параллельно одной из координатных осей, например, параллельно оси z (рис. 10. 4, в), получаем, что моменты всех сил относительно этой оси и их проекции на оси х, у, лежащие в плоскости хОу, перпендикулярной силам, равняются нулю и вместо шести уравнений получаем три уравнения равновесия:
n
∑ Zi = 0 ,
i=1
n |
|
i=1∑ Мх (Рi) = 0 , |
(10. 22) |
n
i=1∑ Му (Рi) = 0 .
В случае сходящейся системы сил, выбрав начало координат в точке пересечения линий действия сил (рис. 10. 4, г), получаем, что момент каждой силы относительно каждой координатной оси равняется нулю, в результате чего получаем уже известную систему (3. 5) трех уравнений равновесия: