135

n

Zс = i=1∑ ℓi . zi / L,

где

n

L = ∑ ℓi – длина линейного тела, ℓi – длина отдельной его части.

i=1

Для плоского стержня эти координаты будут определяться:

n

11.3. Способы определения координат центров тяжести тел

Для определения координат центров тяжести объемных и плоских тел существуют специальные способы. Рассмотрим наиболее распространенные из них:

1. Способ разделения твердого тела на отдельные части. Для объемного или плоского тела сложной геометрической формы положение центра тяжести можно выразить предварительно разделив его на какое-то число N простейших тел или фигур, объемы Vi (i = 1, … N), площади Fi и координаты центров тяжести (хi, уi, zi) которых известны. Поэтому координаты центров тяжести сложных объемных тел выразятся:

N

N

Zс = ∑i=1Vi . zi / V,

для плоских фигур:

136

N

При определении координат центров тяжести тел или фигур, содержащих вырезы, не нарушая общности решения, удобно применять способ отрицательных объемов или площадей. Для этого сложное объемное тело или плоскую фигуру рассматривают как единое целое без учета вырезов, с последующим определением объемов или площадей вырезов, как отрицательных величин, вычисляя координаты их центров тяжести. Координаты центров тяжести сложных тел и фигур возможно в этом случае определять по полученным зависимостям (11. 7), (11. 8).

2. Способ интегрирования.

Для объемных или плоских тел, разнообразной формы, содержащих криволинейные очертания граничных поверхностей или контуров, определение координат центров тяжести путем разделения на конечное число простейших тел или фигур не представляется возможным. Поэтому объемное или плоское тело разделяется на множество N малых частей. Полагая, что объемы или площади частей тела стремятся к нулю и переходя к пределу, получим выражения координат центров тяжести для объемных тел сложной формы в виде:

Хс = ∫V хdV/V ;

137

где dV, dF, dℓ – дифференциалы изменения элементарных объемов, площадей и длин в зависимости от соответствующих координат.

Кроме аналитических способов определения координат центров тяжести существует экспериментальный метод определения рассматриваемых величин

–это способ взвешивания объемных, плоских и линейных тел.

Вчастном случае, когда однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, координаты центра тяжести этого тела расположены или в плоскости или на оси, или в центре симметрии, соответственно.

11.4. Координаты центров тяжести основных площадей и линий

Выразим координаты центров тяжести некоторых основных видов плоских фигур и линий (11. 10), (11. 12).

Прямоугольник размерами ℓ . h (рис. 11. 4, а).

Прямоугольный треугольник размерами ℓ . h (рис. 11. 4, б).

ℓ

F = ∫dF = ∫h / ℓ . хdx = h/ℓ . ℓ2/2 = 1/2 ℓh ;

F о

ℓ

∫x . dF = ∫x . h/ℓ . xdx = h / ℓ . ℓ3 / 3 = h ℓ3 / 3ℓ ;

Аналогично вычислим Уc (рис. 11. 4, в).

138

h

F = ∫dF = ∫(ℓ - ℓ / h . у)dу = ℓh - ℓ/h . h 2/2= 1/2 ℓh ;

F о

h

∫у . dF = ∫у . (ℓ - ℓ /hу) . dу = ℓ . h2 /2 - ℓ / h . h3 /3 = 1/6 ℓh2 ;

Получили координаты центра тяжести прямоугольного треугольника (рис. 11. 4, г).

Хc = 2/3 ℓ ; Х′c = 1/3 ℓ ; Уc = 1/3 h ; У′c = 2/3 h .

Треугольник с основанием ℓ = а + b, высотой h (рис. 11. 5, а). Его площадь будет складываться из площадей двух прямоугольных треугольников F=1/2аh+ +1/2bh = 1/2ℓh. Вычислим статические моменты двух прямоугольных треугольников относительно осей х, у (11. 4).

2

Sх =i=1∑ Fi . уi = 1/2аh . 1/3h + 1/2bh . 1/3h = 1/6ℓh2 ;

2

Sу = i=1∑ Fi . хi = 1/2аh . 2/3а + 1/2bh . (а + 1/3b) = 1/6ℓh (ℓ + а) ;

и координаты центра тяжести (11. 8):

140

2

Ус = ∑i=1Fi . уi / F = {ℓH . H /2 – 1/2ℓ (H – h) . [h + 2/3 (H – h)} / (H + h) . ℓ/2 =

1H3 – h3

=----- . ----------- ; 3 Н2 – h2

Треугольник с основанием h = (h1 + h2) и высотой ℓ (рис. 11. 5, в). Его площадь будет суммироваться из площадей двух прямоугольных треугольников F = 1/2 h1ℓ + 1/2 h2ℓ = 1/2ℓh. Вычислим статические моменты двух треугольников относительно осей х, у.

2

Sх =i=1∑ Fi . уi = 1/2ℓh1 . 1/3h1 + 1/2ℓh2 . (-1/3h2) = 1/6ℓ(h12 – h22);

2

Sу =i=1∑ Fi . хi = 1/2ℓh1 . 2/3ℓ + 1/2ℓh2 . 2/3ℓ = 1/3ℓ2h

и координаты центра тяжести (11.4)

Хc = 1/3ℓ2 h /1/2 ℓh = 2/3ℓ ;

Ус = 1/6ℓ (h12 – h22) / 1/2ℓh = 1/3(h1 – h2) .

Выразим координаты центра тяжести площади многоугольника (рис. 11. 5, г) с известными координатами вершин относительно координатных осей. Разделим многоугольник на треугольники с общей вершиной в точке А, с координатами А (х1 у1). Составим аналитические выражения площадей этих треугольников в зависимости от координат вершин: