110

n

∑ Zi = 0 .

i=1

10.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей пространственной системы сил

Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно некоторой точки равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Пусть пространственная система сил (Р1, Р2, … , Рn) приводится к равнодействующей R в точке А (рис. 10. 4, д). Применяя метод Пуансо, приведем силу R к центру О, в результате чего в точке О будем иметь силу R′,

геометрически равную силе R и пару сил (R, R′′), момент которой равен:

Мо = М (R, R′′) = Мо (R) , (10. 23)

т.е. заданная система сил эквивалентна силе R′ и паре сил с моментом Мо, а это означает, что сила R′ является главным вектором, а Мо - главным моментом системы сил. Сравнивая выражения (10. 23) и (10. 10), получаем теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил:

n

Мо (R) = i=1∑ Мо (Рi)

Проведем через точку О произвольную ось z (рис. 10. 4, д) и определим момент равнодействующей пространственной системы сил относительно этой оси. Принимая во внимание зависимости (10. 5), (10. 23), (10. 12) и (10. 4), получаем:

n

Мz (R) = Мо (R) Соs α = Мо Соs α = Мz = ∑ Мz (Рi) ,

i=1

n

Мz (R) = ∑ Мz (Рi) ,

i=1

т.е. момент равнодействующей пространственной системы сил относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этой оси.

112

Соs (R′,^ j ) = - 4 / 5,7 = - 0,701 ; (R′,^ j ) = 135°

Соs (R′,^ k ) = 0,732 / 5,7 = 0,128 ; (R′,^ k ) = 83° R′ = 4i - 4j + 0,7k

2. Определяем главные моменты системы сил относительно осей х, у, z.

Мx = Р1 . Sin 60° . с + Р3 . b = 2√3/2 . 1 + 4 . 1,5√3 = 12,1 кНм , Му = Р2 . а + Р4 . b = 1 . 1,5 + 3 . 1,5√3 = 9,3 кНм ,

Мz = Р1 Соs 60° . с - Р4 . с = – (2 . 0,5 + 3) . 1 = - 4 кНм .

Модуль главного момента:

Мо = √ (12,1)2 + (9,3)2 + (- 4)2 = 15,8 кНм .

Направление главного момента:

Мо = 12,1i + 9,3j - 4k

Таким образом, заданная система сил приводится к силе и паре сил. Она эквивалентна главному вектору системы R′, приложенному в центре приведения О, и паре сил, момент которой является главным моментом системы Мо (рис. 10. 5).

3. Определим к какому простейшему виду приводится заданная система сил. Чтобы узнать, к чему приводятся силы, найдем наименьший главный момент.

Наименьший главный момент системы сил М* = Мо′ равен проекции главного момента Мо на направление главного вектора R′.

М* = Мо Соs (Мо,^ R′)

Умножим обе части равенства на R′, получим:

R′М* = R′Мо Соs (Мо,^ R′)

Правая часть этого равенства представляет собой величину скалярного

произведения R′ и Мо, т.е.

R′ Мо = R′ М*

Выразим скалярное произведение через проекции векторов сомножителей на координатные оси

114

Тогда,

4 . 12,1 - 4 . 9,3 – 0,732 . 4 М* = ------------------------------- = 1,45

5,7

Так как М* ≠ 0, то силы приводятся к динаме.

Пример 10. 2

К вершинам куба со стороной а приложены силы, модули которых одинаковы и равны Р (рис. 10. 6). Определить главный вектор и главный момент заданной системы сил относительно центра А и указать к какому простейшему виду эта система приводится.

1. Определяем проекции главного вектора R′ на координатные оси х, у, z.

Rх = 0 ; Rу = Р2 - Р4 = 0 ; Rz = - Р1 + Р3 + Р5 + Р6 = 2Р

Модуль главного вектора:

R′ = 2Р

Направление главного вектора:

Соs (R′,^ k) = 2Р / R′ = 1 ; (R′,^ k) = 0 R′ = 2 Р . k

2. Определяем главные моменты системы сил относительно осей х, у, z:

Мx = Р1 . а + Р2 . а - Р5 . а = Ра , Му = Р5 . а + Р5 . а = 2а Р ,

Мz = 0.

Модуль главного момента:

Мо = √ (Ра)2 + (2аР)2 = Ра √5.

Направление главного момента:

Соs (Мо,^ i ) = Ра / Ра √5 = 0,447;

Соs (Мо,^ j ) = Ра / 2аР = 0,5 ;

Соs (Мо,^ k ) = 0 ; (Мо,^ k) = π/2 ,

Мо = Раi + 2аРj

Таким образом, заданная система сил приводится к силе и паре сил. 3. Определим к какому виду приводится заданная система сил.

Так как главный вектор R′ совпадает с осью z, а угол главного момента с осью z составляет π/2, то R′ Мо. Следовательно, заданная система сил приводится к равнодействующей.

Пример 10. 3

К вершинам прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют длину а, b, с, приложены силы Р1, Р2, Р3 (рис. 10. 7 – 10. 10). Привести систему сил к простейшему виду, взяв за центр приведения точку О, самостоятельно.