Знак минус указывает на ошибочное принятие направления момента уравновешивающей пары сил (RА, RВ). Поэтому направление реакций (RА, RВ) следует изменить на противоположное принятому.

Пример 5. 7

Определить опорные реакции RА и RВ в балке и раме (рис. 5.12) самостоятельно, используя условие равновесия пар сил на плоскости.

6. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ

6.1. Приведение силы к заданному центру

Ктвердому телу в точке А приложена сила Р (рис. 6.1). ее момент относительно некоторой точки О равен М0 = Р . d. Приложим в точке О две

уравновешенные силы, параллельные силе Р и равные ей по модулю: Р′ = - Р″. Сила Р′, приложенная в точке О и геометрически равная силе Р, и пара сил (Р′, Р″) в плоскости действия силы Р будут эквивалентны одной силе Р, приложенной в точке А. Причем момент пары (Р′, Р″) равен моменту силы Р

относительно центра О, т.е.

М (Р′, Р″) = Р . d = М0 (Р)

Сила Р′ называется приведенной силой, а пара (Р′, Р″) - присоединенной парой.

Таким образом, не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно перенести параллельно начальному положению в любую точку тела (центр приведения), прилагая при этом пару, момент которой равен моменту переносимой силы относительно центра приведения.

Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777 – 1859) и называется приведением силы к заданному центру.

45

6. 2. Приведение плоской системы сил к заданному центру

Рассмотрим действие на твердое тело произвольной системы сил (Р1, Р2, … Рn), лежащих в одной плоскости. Приведем эту систему сил к центру О, который назовем центром приведения (рис. 6. 2).

Используя метод Пуансо, после приведения каждой силы к центру О будем иметь в этой точке систему приведенных сил (Р′1, Р′2, … Р′n), а в плоскости действия сил – присоединенные пары (Р1, Р1″), (Р2, Р2″), … (Рn, Рn″).

Их моменты определяются как моменты заданных сил относительно центра приведения, т.е.

М(Р1, Р1″) = М0 (Р1)

М(Р2, Р2″) = М0 (Р2) и т.д.

Сложив приведенные силы, получим их равнодействующую

n n

R′ = ∑ Р′i = ∑ Рi ,

i=1 i=1

приложенную в точке О. Так как каждая приведенная сила геометрически равна заданной силе, то R′ можно вычислить как геометрическую сумму заданных сил.

Равнодействующая всех приведенных сил R′ называется главным вектором плоской системы сил.

Момент результирующей пары, полученный в результате сложения всех присоединенных пар:

n

М0 = М0 (Р1) + М0 (Р2) + … + М0 (Рn) = ∑ М0 (Рi)

i=1

называется главным моментом плоской системы сил. То есть плоская система произвольно расположенных сил в результате приведения к заданному центру О эквивалентна одной силе – главному вектору системы R′, приложенному в центре приведения, и одной паре в плоскости действия сил, момент которой М0 равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно центра приведения, т.е.

(Р1, Р2, … Рn) ≡ (R′, М0)

С изменением центра приведения изменяется только главный момент системы, а главный вектор не зависит от выбора центра приведения. Следует заметить, что главный вектор системы R′ нельзя называть равнодействующей заданной системы сил, так как R′ только совместно с результирующей парой заменяет действие заданной системы сил.

Определим модуль и направление главного вектора R′. Для этого через центр О проведем оси прямоугольных координат хОу (рис. 6.2) и найдем проекции вектора R′ на оси х и у:

Rх′ = ∑ Хi ; Rу′= ∑ Уi ,

где Хi и Уi – проекции силы Рi (i = 1, 2, … n) на оси прямоугольных координат.

46

Модуль главного вектора определяется по формуле:

___________ ______________

R′ = √ (Rх′)2 + (Rу′)2 = √ (∑ Хi)2 + (∑ Уi)2

а направление с помощью направляющих конусов:

Rх′ Rу′

Соs (R′, i ) = ------- ; Соs (R′, j ) = -------

R′ R′

6. 3. Частные случаи приведения плоской системы сил к заданному центру

При приведении сил, произвольно расположенных на плоскости, к заданному центру возможны следующие случаи:

1. Система сил находится в равновесии.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент относительно центра равнялись нулю:

R′ = ∑ Рi = 0 , М0 = ∑ М0 (Рi) = 0 2. Система сил приводится к паре сил.

Если при решении задачи приведения сил к центру О получим, что R′ = 0, а М0 = ∑ М0 (Рi) ≠ 0, то в этом случае плоская система сил приводится только к паре сил, момент которой равен главному моменту М0, и значение которого не зависит от выбора центра приведения.

3. Система сил приводится к равнодействующей. При этом возможны два случая.

а) Если R′ = ∑ Рi ≠ 0, а М0 = 0, то в этом случае плоская система сил приводится к одной силе R′, приложенной в центре приведения О. Сила R′ как главный вектор системы будет являться равнодействующей данной системы

сил, так как (Р1, Р2, … Рn) ≡ R′.

б) В общем случае, когда плоская система сил приводится к силе – главному вектору системы R′ = ∑ Рi, приложенной в центре приведения О, и к паре сил с моментом М0 = ∑ М0 (Рi), то заданная система сил эквивалентна только одной силе – равнодействующей данной системе сил (рис. 6. 3, а).

Преобразуем пару с моментом М0 так чтобы силы этой пары R1, R оказались равными модулю силы R′, при этом нужно соответственно изменить плечо пары, чтобы ее М0 момент оставался неизменным, т.е.

М0 d = ------

R′

Переместим эту пару так, чтобы одна из сил пары R1 оказалась приложенной в точке О и направленной противоположно силе R′ (рис. 6. 3, б), при этом другая сила пары R будет приложена в точке А на отрезке ОА = d, отложенном перпендикулярно к линии действия силы. В центре приведения О