119

10.11. Примеры решения задач на условия равновесия пространственной системы сил

Пример 10. 4

Груз Q весом 200 Н подвешен на тросе ОD перекинутым через блок в точке О (рис. 10. 11, а); удерживается в равновесии двумя горизонтальными стержнями ОВ = ОС и наклонным стержнем ОА. Углы ОВС = ОСВ = 45°;ОАF = 30°; FDО = 60°. Определить, пренебрегая трением на блоке, усилия

в стержнях NОА, NOB и NOC.

Решение:

1.Рассматриваем равновесие груза Q. Для этого освобождаемся от связей,

заменяя их действие на груз Q силами – реакциями связей ТОD, NOB, NOC, NОА.

2.Выбираем оси прямоугольной пространственной системы координат х, у, z и составляем три уравнения равновесия сил (10. 21′), сходящихся в

одной точке в пространстве. Усилие в тросе ТОD = Q, так как трение на блоке не учитывается.

∑Хi = 0 , NOB Соs 45° - NOC Соs 45° = 0

∑Уi = 0 , - Q Sin 60° + NОА Sin 30° - NOB Sin 45° - NOC Sin 45° = 0

∑ Zi = 0 . Q Соs 60° - Q + NОА Соs 30° = 0

3. Решаем систему уравнений и определяем величины усилий в стержнях:

NОА = 115,47 Н ; NOC = NOB = - 81,65 Н.

Знак минус означает, что усилия NOC и NOB имеют направления, противоположные первоначально принятым направлениям.

Пример 10. 5

Груз весом Q = 100 Н подвешен на тросе ОD, перекинутым через блок (рис. 10. 11, б) в точке О и удерживается в равновесии двумя горизонтальными стержнями ОА и ОВ и наклонным стержнем ОС. Плоскость АЕВО – горизонтальная. Стержни имеют длину ОА = 54 см; ОВ = 72 см; ОС = 180 см. Углы наклона троса ОD к плоскости АЕВО - 30° и стержня ОС к вертикали - 30°. Определить, пренебрегая трением на блоке, усилия в стержнях NОА, NOB,

NOC.

Решение:

1.Рассматриваем равновесие груза Q. Для этого освобождаемся от связей,

заменяя их действие на груз Q силами – реакциями связей ТОD, NOB, NOC, NОА.

2.Выбираем оси прямоугольной системы координат хуz в пространстве. Составляем три уравнения равновесия сил, сходящихся в одной точке в

пространстве (10. 21′). Усилие в точке ТОD = Q, так как трением на блоке пренебрегаем.

121

∑Хi = 0 , - NOА Sin α - NOВ Соs α - Q Соs 30° + NOC Sin 30° = 0

∑Уi = 0 , NOВ + Q Соs 30° Соs α - NOC Sin 30° Соs α = 0

∑ Zi = - Q + Q Sin 30° +NОC Соs 30° = 0

Угол α определяется решением прямоугольного ∆ОЕВ и равен α = 37°. 3. Решаем систему уравнений и определяем величины усилий в стержнях:

NOC = 57,8 Н; NOB = - 46,16 Н; NОА = - 34,62 Н.

Знаки «минус» означают, что усилия NOB и NОА имеют направления, противоположные первоначально принятым направлениям.

Пример 10. 6

Пространственная ферма, состоящая из шести прямолинейных стержней (рис. 10. 12), находится под действием двух сил Р1 = 1 кН и Р2 = 2 кН, лежащих

вплоскости АВМN, приложенных к узлам А, В, направленных под углом 45° к вертикали. Плоскости равнобедренных прямоугольных треугольников ∆АDЕ, ∆ВКЕ параллельны, а площади равны. Наклоненный стержень ВС, расположен

вплоскости АВMN и имеет угол наклона к вертикали 45°. Определить усилия во всех стержнях фермы.

Решение:

1.Рассматриваем равновесие узлов фермы А и В, находящихся под действием внешних сил Р, 2Р и усилий в стержнях. Для этого освобождаемся от связей, заменяя их действие на узлы усилиями в стержнях NAF, NAD, NAE, NАK, NАС, NАВ.

2.Выбираем оси х, у, z прямоугольной пространственной системы координат и составляем по три уравнения равновесия сил, сходящихся в

одной точке для узлов А и В фермы (10. 21′). Узел А.

∑Хi = 0 , NАF Sin 45° - NAD Sin 45° = 0

∑Уi = 0 , NАF Соs 45° + NАD Соs 45° - Р1 Sin 45° = 0

∑Zi = 0 , NАВ - Р1 Соs 45° = 0

Узел В.

∑Хi = 0 , NВЕ Sin 45° - NВК Sin 45° = 0

∑Уi = 0 , NВЕ Соs 45° + NВК Соs 45° + NВС Sin 45° + Р2 Sin 45° = 0

∑Zi = 0 , NВС Соs 45° - Р2 Соs 45° = 0

3. Решаем систему уравнений и определяем усилия в стержнях фермы:

NАВ = 0,707 кН; NАF = NАD = 0,5 кН;

NВС = 3 кН ; NВЕ = - 2,5 кН .

Знаки минус для усилий в стержнях ВЕ и ВК означают, что направления NВЕ и NВК будут противоположны первоначально выбранным.

Пример 10. 7

Трехстержневой пространственный узел В (рис. 10. 13, а) образован горизонтальными стержнями ВА = 28 см; ВС = 21 см и наклонным стержнем ВD с углом 40° к вертикали. Узел находится в равновесии под действием груза весом Q = 200 Н и силы Р = 60 Н, приложенной под углом 60° к горизонтальной

122

плоскости ОСВА и углом 20° к стержню ВС. Определить усилия в стержнях

NВС, NBА, NВD самостоятельно.

Результаты решения:

NВС = - 155,13 Н, NBА= - 179,5 Н, NВD = 329 Н

Пример 10. 8

Трехстержневой пространственный узел А (рис. 10. 13, б, в), образован тремя стержнями АС, АВ, АD. Узел находится в равновесии под действием груза весом Q = 300 Н и силы Р = 100 Н, приложенной в плоскости АDЕ под углом 70°. Углы наклона стержней АС, АВ и АD показаны на рисунках. Определить усилия в стержнях NАС, NBА, NВD самостоятельно.

Пример 10. 9

Пространственная ферма, состоящая из шести прямолинейных стержней (рис. 10. 14), находится под действием двух сил Р1 = 10 кН и Р2 = 5 кН, лежащих в плоскости АЕFК, приложенных в узлах А, Е, под углами 60° и 30° к стержню АЕ соответственно. Плоскости равносторонних треугольников ∆АСВ, ∆ЕNM параллельны, а площади равны. Наклонный стержень АD расположен в плоскости AEFK и имеет угол наклона к горизонту 60°. Определить усилия во всех стержнях фермы самостоятельно.

Пример 10. 10

Однородные, тонкие прямоугольные плиты СDFЕ и СВАD жестко соединены под прямым углом, закреплены сферическим шарниром в точке F, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем DL (рис. 10. 15, а). Веса плит Р1 = 3 кН и Р2 = 6 кН. В плоскости плиты СВАD действует пара сил с моментом М = 2 кНсм. К верхней грани плиты СDFЕ приложена сила Q = 4 кН, линия действия которой параллельна плите СВАD и направлена под углом 60° к горизонту. Определить реакции опор F, В – ХF, УF, ZF, ХВ, УВ и

стержня DL – NDL.

Решение:

1. Рассматриваем плоскости плит, на которые действуют заданная система сил Р1, Р2, F, пара сил с моментом М и силы реакций связей. Реакцию сферического шарнира F раскладываем на три составляющих ХF, УF, ZF;

реакцию цилиндрического шарнира В – на две составляющих ХВ, УВ; реакцию стержня DL - NDL направляем вдоль стержня, полагая, что он растянут.

2.Выбираем оси прямоугольной пространственной системы координат хуz

исоставляем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил (10. 21).

∑Хi = 0 , ХВ - NDL Соs 30° + ХF + Q Соs 60° - NDL Соs 30° = 0

∑Уi = 0 , УВ + NDL Sin 30° + УF = 0

∑Zi = 0 , ZF – Q Sin 60° - Р1 - Р2 = 0

∑Мх = 0 , - УВ . АВ - ZF . FD + Q Sin 60° . 50 + Р2 . FD/2 = 0

∑Му = 0 , ХВ . АВ - ZF . АD + Q Sin 60° . АD + Q Соs 60° . СD + Р2 . АD +

+Р1 . АD/2 + М = 0

∑Мz = 0 , NDL . Sin 30° . АD + Q Соs 60° . СG + ХF . DF+ + УF . АD= 0

125

и в невесомом стержне DL – NDL = - 9,282 кН.

Знак минус означает, что направления составляющих опорных реакций ХF, ХF, ХВ, УВ и NDL будут противоположны первоначально принятым направлениям.

Пример 10. 11

Прямоугольная плита, размером в плане 5 х 6 м, горизонтально расположенная, весом Р = 40 кН, закреплена цилиндрическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем ЕD (рис. 10. 15, б). По грани СD в точке L на плиту действует сила F = 10 кН под углом 30° к плоскости плиты, а по грани DВ в плоскости перпендикулярной плите пара сил с моментом М = 2 кНм. Определить реакции опор А, В – ХА, УА, ZА, ХВ, ZВ и стержня DЕ – NDE.

Решение:

1.Рассматриваем равновесие плиты, на которую действуют заданные силы Р, F, пара сил с моментом М и силы реакций связей. Реакцию сферического

шарнира А раскладываем на три составляющих ХА, УА, ZА; реакцию цилиндрического шарнира – на две составляющих ХВ, ZВ; реакцию стержня DЕ

–NDE направляем вдоль стержня, полагая, что он сжат.

2.Выбираем оси прямоугольной пространственной системы координат хуz

исоставляем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил (10. 21).

∑Уi = 0 ; УА + NDЕ Соs 60° - F Соs 30° = 0

∑Zi = 0 ; ZА + NDЕ Sin 60° + ZB - Р– F Sin 30° = 0

∑Мх = 0 ; ZВ . АВ + NDЕ Sin 60° . CD – F Sin 30° . CL – Р . AB/2 = 0

∑Му = 0 ; - NDЕ Sin 60° . DB + F Sin 30° . DB + Р . DB/2 + М = 0

∑Мz = 0 ; - XB . АB + NDЕ Соs 60° . DB – F Соs 30° . AC = 0

126

3. Решаем систему уравнений:

ХА + ХВ = 0

УА + NDЕ . 0,5 – 10 . √3/2 = 0

ZА + NDЕ √3/2 + ZB - 40 – 10 . 0,5 = 0

ZВ . 5 + NDЕ √3/2. 5 – 10 . 0,5 . 1 – 40 . 5/2 = 0

-NDЕ √3/2 . 6 + 10 . 0,5 . 6 + 40 . 6/2 + 2 = 0

-XB . 5 + NDЕ . 0,5 . 6 – 10 . √3/2 . 6 = 0

иопределяем составляющие опорных реакций в сферическом шарнире А:

ХА = - 7,16 кН ; УА = - 5,967 кН ; ZА = 24,0 кН ;

– в цилиндрическом шарнире В:

ХВ = 7,16 кН ; ZВ = - 4,333 кН

– и в невесомом стержне DЕ – NDE = - 29,253 кН.

Знак минус означает, что направления составляющих опорных реакций ХА, УА, ZВ и NDЕ будут противоположны первоначально принятым направлениям.

Пример 10. 12

Однородные, тонкие прямоугольные плиты СКLD и СDАВ жестко соединены под прямым углом, закреплены сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем КЕ (рис. 10. 15, в). Веса плит Р1 = 40 кН и Р2 = 15 кН. В плоскости плиты СКLD действует пара сил с моментом М1 = 2 кНм, а в плоскости СDАВ – пара сил с моментом М2 = 4 кНм. По грани АВ в точке G на плиту действует сила F = 10 кН под углом 60° к плоскости СDАВ. Определить реакции опор А, В – ХА, УА, ZА, УВ, ZВ и стержня

КЕ – NКE.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие плит, на которые действуют заданная система сил Р1, Р2, F, пара сил с моментом М и силы реакций связей. Реакцию сферического шарнира А, раскладываем на три составляющих ХА, УА, ZА; реакцию цилиндрического шарнира В – на две составляющих УВ, ZВ; реакцию стержня КЕ – NКE направляем вдоль стержня, полагая, что он сжат.

2.Выбираем оси прямоугольной пространственной системы координат хуz

исоставляем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил (10. 21).

∑Хi = 0 ; ХА + F . Соs 60° = 0

∑Уi = 0 ; УА + УВ - NКЕ = 0

∑Zi = 0 ; ZА + ZВ – Р1 – Р2 – F Sin 60° = 0

∑Мх = 0 ; NКЕ . КC + Р2 . CВ – Р1 . СB/2 = 0

∑Му = 0 ; - ZB . АB – М1 + Р1 . АB/2 + F Sin 60° . GA = 0

∑Мz = 0 ; УB . АB + М2 - NКЕ . АB = 0