81

Таким образом, все тринадцать усилий определены и последние три уравнения служат для проверки вычислений.

∑ У= О9 – N9 Sin α - N11 – N12 Sin α =

-10,447 . 0,6 + 10,268 – 6,667 . 0,6 = 10,268 – 10,2684 0

Узел 8: ∑ Х= 0 , - N12 Соs α - N13 = -6,667 . 0,8 + 5,333 = 5,33 – 5,336 0 ∑ У= 0 , N12 Sin α - Р3 = 6,667 . 0,6 – 4 = 4,0002 – 4 0

Следовательно, расчет фермы выполнен верно. Стержни с отрицательными усилиями испытывают не растяжение, а сжатие.

8.3.2. Леммы о нулевых стержнях фермы

Стержни загруженной фермы, усилия в которых отсутствуют (равны нулю), называются нулевыми. Нулевые стержни в отдельных случаях легко определяются без расчета фермы с помощью рассмотренных ниже лемм.

Лемма 1. В незагруженном двухстержневом узле фермы оба стержня являются нулевыми (рис. 8. 2, в).

Действительно, из уравнений равновесия следует:

∑У= 0 , N1 Sin α = 0 , N1 = 0

∑Х= 0 , N1 Соs α + N2 = 0 , N2 = 0 .

Лемма 2. Если в незагруженном трехстержневом узле фермы два стержня расположены на одной прямой, то усилие в третьем (примыкающем) стержне равно нулю, а усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 8. 2, г).

Из уравнений равновесия получаем:

∑У= 0 , N3 Sin α = 0 , N3 = 0

∑Х= 0 , - N1 + N2 + N3 Соs α = 0 , N1 = N2 .

Лемма 3. Если линия действия внешней силы, приложенной к двухстержневому узлу, совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне по модулю равно внешней силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 8. 2, д).

Действительно:

∑У= 0 , N2 Sin α = 0 , N2 = 0

∑Х= 0 , Р – N1 – N2 Соs α = 0 , N1 = Р .

Пример 8. 2

Пользуясь леммами, определить нулевые стержни в ферме (рис. 8. 3, а), зачеркивая их двумя чертами.

Решение:

Применяя в узле 1 лемму 3, получаем N1 = 0, а N2 = Р. В узле 2 согласно лемме 2 получаем N3 = 0, а N4 = N5. По лемме 1 в незагруженном двухстержневом узле 3 оба стержня нулевые: N6 = N7 = 0. По этой же лемме в

82

узле 4, где N7 = 0, получаем N8 = N9 = 0. И, наконец, согласно лемме 3 в опорном узле В, где усилия N6 = N8 = 0, получаем N10 = 0, а N11 = Rв.

8.3.3. Метод сечений (метод Риттера)

Суть данного метода заключается в том, что при определении усилий в стержнях фермы она мысленно рассекается на две части и усилия рассеченных стержней определяются из уравнений равновесия одной из отсеченных частей фермы. Поскольку усилия одинаково действуют на обе части фермы, лучше рассматривать ту часть фермы, на которую действует меньше внешних сил.

На отсеченную часть фермы действует произвольная система сил (усилия рассеченных стержней, активные силы, реакции опор), для которой в плоскости можно составить только три уравнения равновесия статики и, следовательно, в рассматриваемом сечении должно быть три неизвестных усилия, т.е., рассекая ферму на две части, сечение в общем случае проводят только через три стержня. В частных случаях возможны отклонения от этого правила. Уравнения равновесия сил, приложенных к отсеченной части фермы, составляются в виде:

∑ М1 = 0, ∑ М2 = 0, (8.3)

∑ М3 = 0,

где 1, 2, 3 – моментные точки, не лежащие на одной прямой.

С целью разделения неизвестных, т.е., чтобы в каждое уравнение системы (8. 3) входило лишь одно из трех неизвестных усилий, моментную точку выбирают на пересечении двух других усилий. Если при этом окажется, что два другие усилия параллельны, т.е. моментная точка для рассматриваемого усилия находится в бесконечности, то вместо уравнения моментов составляют уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную параллельным усилиям. В этом случае система уравнений (8. 3) принимает вид:

где у – ось проекций, перпендикулярная параллельным усилиям в рассматриваемом сечении.

При определении усилий рассеченных стержней фермы так же, как и в методе вырезания узлов, вначале предполагается, что стержни испытывают растяжение.

Пример 8. 3

Определить методом Риттера усилия N1, N2, N3, N4, N5 и N6 в стержнях

фермы (рис. 8. 3, б), если Р1 = 6 кН, Р2 = 4 кН, Р3 = 8 кН.

Решение:

1.Проверяем выполнение условия (8. 1):

С= 2У – З,

83

17 = 2 . 10 – 3,

17 = 17,

т.е. ферма геометрически неизменяемая и статически определимая.

2.Определяем реакции опор фермы RА и Rв.

∑МА = 0, - Р1 . 3 – Р2 . 6 - Rв . 9 = 0, Rв = 9,5 кН

∑Мв= 0, - RА . 12 + Р1 . 9 + Р2 . 6 + Р3 . 3 = 0, RА = 8,5 кН

∑У = 0 (проверка), RА – Р1 – Р2 – Р3 + Rв = 8,5 – 6 – 4 – 8 + 9,5 = 18 – 18= 0

3.Определяем усилия Ni в заданных стержнях фермы, рассекая ее

сечениями 1 – 1 и 2 – 2. Сечения 1 – 1 проводим через три стержня 1, 2, 3 и определяем в них усилия N1, N2, N3, составляя уравнения (8.3) для левой отсеченной части фермы (рис. 8.3, в). Моментную точку 1 при определении N1 назначаем на пересечении N3и N2, точку 2 при определении N2 - на пересечении N1 и N2 и точку 3 при определении N3 - на пересечении N1 и N2 . Плечо hi каждого усилия Ni относительно его моментной точки i (i = 1, 2, 3) определяем из соответствующего прямоугольного треугольника:

а6

--- = --- → а = 6 м , 2 2

6

h1 = 4 Соs α = 4 . ------------ = 3,795 м , √ 62 + 22

1

h2 = 2 + ---- . 2 = 3 м , 2

6

h3 = 12 . Sin β = 12 . ------------ = 8,485 м , √ 32 + 32

Из уравнений равновесия находим:

∑М1 = 0 , - N1 . h1 + Р1 . 3 – RА . 6 = 0 , N1 = - 8,696 кН (сжат)

∑М2= 0 , N2 . h2 – RА . 3 = 0 , N2 = 8,5 кН (растянут)

∑М3 = 0 , - N3 . h3 - Р1 . 9 + RА . 6 = 0 , N3 = - 0,0515 кН (сжат)

Аналогично определяем усилия в трех стержнях 4, 5 и 6, проводя через них сечение 2 – 2 и рассматривая равновесие правой отсеченной части фермы (рис. 8. 3, г). При этом вместо уравнений (8. 3) составляем уравнения (8. 4), так как моментная точка для усилия N6 на пересечении параллельных усилий N4 и N5 находится в бесконечности.

4

Соs γ = ---------- = 0,8 √42 + 32