17

3.СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

3.1. Графический и аналитический методы определения равнодействующей сходящихся сил

Сходящейся называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 3.1, а).

Найдем сначала равнодействующую двух сил Р1 и Р2, сходящихся в одной точке (рис. 3.1, б). Перенесем силы по линиям действия в эту точку и согласно аксиоме параллелограмма сил найдем геометрически их равнодействующую как диагональ параллелограмма, построенного на этих силах:

R = Р1 + Р2

Построение параллелограмма сил для определения равнодействующей R можно заменить более простым правилом треугольника (рис. 3.1, в). Для этого из конца силы Р1 откладываем силу Р2. Тогда вектор, проведенный из начала силы Р1 к концу силы Р2, будет равнодействующей R этих сил.

Применяя правило треугольника, найдем равнодействующую R четырех сил Р1 , Р2 , Р3 , Р4 (рис. 3.1, г):

R1 = Р1 + Р2

R2 = R 1 + Р3 = Р1 + Р2 + Р3

R = R 2 + Р4 = Р1 + Р2 + Р3 + Р4

Таким образом, равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометрической сумме и изображается замыкающей стороной силового многоугольника, сторонами которого последовательно являются данные силы Р1 , Р2 , Р3 , Р4. Направлена равнодействующая R от начала первой силы Р1 к концу последней силы Р4.

В общем случае, когда имеем «n» сходящихся сил, их равнодействующая равна:

Равнодействующую системы сходящихся сил можно найти аналитически через проекции сил на координатные оси. В связи с этим докажем следующую теорему: проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций этих сил на ту же ось.

Построим многоугольник четырех сил Р1 , Р2 , Р3 , Р4, сходящихся в точке А, где R – их равнодействующая (рис. 3.2, а). Найдем проекции всех сил этого многоугольника на ось у в системе координат х, у, z:

Р1,у = У1 = аb, Р2,у = У2 = bc, Р3,у = У3 = сd, Р4,у = У4 = - dе, Rу = ае Сложив проекции сил Р1 , Р2 , Р3 , Р4, получим:

У1 + У2 + У3 + У4 = ab + bc + cd – de = ae = Rу ,

что и требовалось доказать.

Рис. 3.2

19

В общем случае для «n» сходящихся сил будем иметь:

где Хi, Zi – проекция силы Рi соответственно на ось х и на ось z.

Таким образом, если проекции сходящихся сил на оси координат будут известны, то модуль их равнодействующей и ее направление в соответствии с выражениями (1. 1), (1. 2), (1. 3), (3. 2) и (3. 3) можно определить по следующим формулам:

R = Rxi + Rуj + Rzк ,

3. 2. Условие и уравнения равновесия системы сходящихся сил

Условием равновесия системы сходящихся сил является равенство нулю их равнодействующей:

n

R = ∑ Рi = 0

i=1

Геометрически это означает замкнутость многоугольника сходящихся сил, если они являются уравновешенной системой сил: (Р1 , Р2 , … , Рn) ~ 0. В замкнутом силовом многоугольнике конец каждой силы совпадает с началом последующей силы, а конец последней – с началом первой силы. Например, если система сходящихся сил (Р1 , Р2 , Р3 , Р4) ~ 0, т.е. является уравновешенной, то многоугольник этих сил будет замкнутым (рис. 3.2, б). В частном случае, если уравновешенными являются три сходящиеся силы, то замкнутым будет треугольник этих сил (рис. 3.2, в).

Приравнивая в выражении (3. 4) нулю модуль равнодействующей (R = 0), получаем уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:

Если сходящиеся силы действуют в одной плоскости, например, в координатной плоскости хОу, то уравнений равновесия будет два:

20

Таким образом, если система сходящихся сил является уравновешенной, то можно рассматривать две формы их равновесия:

1)графическую – замкнутость силового многоугольника;

2)аналитическую – равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил на каждую координатную ось.

3. 3. Примеры решения задач на систему сходящихся сил

Пример 1

Однородный шар радиуса r и весом Р = 6н опирается на ребро А и удерживается тросом ВС (рис. 3.3, а). Превышения центра О шара над точкой А

иточки В над точкой О соответственно равны r/2 и r/√2. Пренебрегая трением между шаром и ребром, найти давление шара на ребро и натяжение троса.

Решение

Согласно аксиоме действия и противодействия (см. п. 1.2) сила, с которой шар давит на ребро, равна по модулю реакции ребра на шар и противоположна ей по направлению. Натяжение троса равно его реакции на шар, приложенной в точке В и действующей вдоль троса.

Применяя принцип освобождаемости от связей, заменим их реакциями и рассмотрим равновесие сил, действующих на шар (рис. 3.3, б). Реакция ребра RА действует по нормали к поверхности шара в точке А, т.е. вдоль радиуса АО,

ипересекается в точке О с вертикальной силой тяжести. Р шара. Согласно теореме о равновесии трех сил линия действия реакции троса Т также проходит через точку О. Таким образом, на шар действует уравновешенная система трех сил, сходящихся в точке О, условием равновесия которых является замкнутость силового треугольника.

При заданных размерах (рис. 3.3, б) получаем:

Для проверки вычислений составим уравнение равновесия:

∑ Х = 0 , РА Сos α – Т Sin β = 4,39 . 0,856 – 5,38 . 0,7071 = 3,802 – 3,804 0

Следовательно, реакции R А и Т определены верно.

Пример 2

Определить графически опорные реакции в балке (рис. 3.4, а) от действия силы Р (Р = 15 кН).

Решение

1.Изображаем конструкцию строго в масштабе длин: 1 см ~ а м, а = 3м/см.

2.Проводим линию действия реакции шарнирно-подвижной опоры В до пересечения в точке К с линией действия Р и в соответствии с теоремой о равновесии трех сил (см. п. 1. 3) через эту точку проводим RА (реакцию

шарнирно-неподвижной опоры А).

Известную силу Р изображаем в виде вектора аb длиной аb = ---- = ---- = 0,75 см. m 20

параллельного силе Р и направленного в ту же сторону. Из начала (т. «а») и конца (т. «b») вектора Р проводим две прямые, параллельные соответственно RВ и RА на рис. 3.4, а, до взаимного пересечения в точке «с» (рис. 3. 4, в). Полученный треугольник аbc должен быть замкнутым по направлению силы Р. Для этого вектор RА направляем от «b» к «с», а вектор RВ – от «с» к «а».

4.С помощью силового треугольника (рис. 3.4, в) определяем направления

имодули опорных реакций. Найденные направления реакций переносим с треугольника на балку (рис. 3. 4, б). Затем замеряем на треугольнике длины

векторов RА и RВ : bc = 1,0 см , са = 0,9 см , после чего в принятом масштабе сил определяем модули реакций:

RА = bc . m = 1,0 . 20 = 20 кН , RВ = са . m = 0,9 . 20 = 18 кН

5. Для проверки правильности решения составим уравнения равновесия трех сил Р, RА, RВ на оси координат х и у (рис. 3. 4, в) в виде (3. 6)

3 3

На ось х проекция силы Р с учетом масштаба будет равна:

а′ b′ = 0,6 см . 20 кН = 12 кН ,

проекция реакции RА – сb′ = - 0,9 см . 20 кН = - 18 кН проекция реакции RВ – са′ = 0,3 см . 20 кН = 6 кН

23

Аналогично на ось у проекция силы Р равна:

а′′ b′′ = - 0,5 см . 20 кН = - 10 кН ,

проекция реакции RВ - са″ = 0,8 см . 20 кН = 16 кН проекция реакции RВ – сb″ = - 0,3 см . 20 кН = - 6 кН

Пример 3

Блок А неподвижно закреплен с помощью двух стержней АВ и ВС (крепления шарнирные). Через блок перекинут трос, один конец которого идет на лебедку Е, а к другому концу прикреплен груз D весом Q = 2 кН (рис. 3. 5, а). На неподвижный узел А действует также сила Р (Р = 3 кН). Пренебрегая размерами блока и трением, определить усилия в стержнях АВ и АС.

Решение

Усилия NАВ и NАС в стержнях АВ и АС равны их реакциям на узел А (рис. 3. 5, а), на который действуют также две реакции Т1 и Т2 гибкой связи, равные по модулю весу груза D (Т1 = Т2 = Q = 2 кН). Таким образом, узел А находится в равновесии под действием пяти сходящихся сил, две из которых (NАВ и NАС) подлежат определению.

Освобождаем узел А от связей и заменяем их реакциями (рис. 3. 5, б), полагая вначале, что стержни АВ и АС испытывают растяжение. Искомые усилия NАВ и NАС определяем аналитически, составляя для плоской системы сходящихся сил два уравнения равновесия (3. 6):

n n

ориентируя одну из координатных осей перпендикулярно одному из неизвестных усилий (в данном случае ось х NАС).

∑Х = - NАВ Сos 30˚ - Т1 Сos 45˚ - Р Сos 60˚ = 0 ,

∑У = NАВ Сos 60˚ + NАС - Т1 Сos 45˚ - Т2 - Р Сos 30˚ = 0 ,

откуда находим:

NАС = -NАВ Сos 60˚ + Т1 Сos 45˚ + Т2 + Р Сos 30˚ = +3,365 . 0,5 + 2 . 0,7071 + 2 + 3 . 0,8660 = 7,695 кН.

Усилие NАВ получилось отрицательным, т.е. стержень АВ не растянут, как было принято вначале, а сжат.