11.16. Вывод выражения для div е в декартовой системе координат

Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 11.8). Для нахождения истока вектоpa E из данного объема составим разность потоков, вытекающих из объема и втекающих в него, и поделим разность потоков на величину объема параллелепипеда, равную dxdydz. Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляющая вектора E, а именно составляющая jЕ_y остальные составляющие (iE_x и kE_z ) скользят по грани. Поток вектора, входящий в эту грань равен E_ydxdz. Так как Е есть функция координат, то и ее составляющие также есть функции координат. Правая грань площадью dxdz отстоит от левой грани на расстоянии dy. Проекция вектора E на ось у для нее равна

.

Здесь скорость изменения Е_у в направлении оси у; есть приращение «игрековой» составляющей напряженности поля на пути dy. Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен

.

Исток через грани площадью dxdz равен dx dy dz. Таким же путем получим разность потоков через грани dydz dxdydz. Разность потоков через грани dxdy (верхнюю и нижнюю стенки объема): dxdydz. Для нахождения divE сложим разности потоков через все грани и поделим на объем параллелепипеда dxdydz, получим

. (11.23)

Z

Y

E_z

E_y

Рис. 11.8. Иллюстрация дивергенции вектора E (divE).

11.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции

Ранее было показано, что умножение оператора  на скалярную функцию равносильно взятию градиента от этой скалярной функции. Покажем, что скалярное умножение оператора  на векторную функцию, например, на функцию Е, означает взятие дивергенции от этой векторной функции.

Произведение E может быть записано так:

. (11.24)

Правые части (11.23) и (11.24) равны друг другу, следовательно, должны быть равны и левые части их. Поэтому

E=divE,

т. е. действительно, умножение оператора  на вектор E означает взятие дивергенции от этого вектора.

11.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат

Без вывода запишем выражение divE в цилиндрической системе координат:

(11.25)

а в сферической системе координат

. (1.26)

11.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = - grad . В то же время согласно теореме Гаусса

.

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

.

Вынесем минус за знак дивергенции

.

Вместо того чтобы писать grad, запишем его эквивалент . Вместо div напишем . Тогда

или (11.27)

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ_свб=0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

. (11.28)

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом . Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

.

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей  и запишем в развернутом виде

.

Произведем почленное умножение и получим

.

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

. (11.29)

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

. (11.30)

Приведем без вывода выражения ² в цилиндрической системе координат

, (11.31)

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от  в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал  в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (), поверхностные () и линейные () заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов dV, ds, dl; dV — элемент объема, ds—элемент заряженной поверхности, dl— элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала d в некоторой точке пространства, удаленной от dV на расстояние R, в соответствии с формулой (11.20) равна

.

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

и .

Полное значение  определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

. (11.33)

В формуле (11.33) , и  есть функции радиуса R. Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение  по поверхности,  по длине и  по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как ,  и  зависят от радиуса R.