11.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика

На границе проводящее тело — диэлектрик всегда выполняются два условия:

1) отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности поля:

E_t=0 (11.34)

2) вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен плотности заряда  на поверхности проводящего тела в этой точке, т. е.

D=. (11.35)

Рассмотрим первое условие. Все точки поверхности проводящего тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя любыми весьма близко расположенными друг к другу точками поверхности приращение потенциала d=0, но d=E_tdl, следова­тельно, E_tdl=0.

Так как элемент пути dl между точками на поверхности не равен нулю, то равно нулю E_t.

Рис. 11.10. Условия на границе раздела двух тел.

Для доказательства второго условия мысленно выделим бесконечно малый параллелепипед (рис. 11.10). Верхняя грань его параллельна поверхности проводящего тела и расположена в диэлектрике. Нижняя грань находится в проводящем теле. Высоту параллелепипеда возьмем весьма малой (сплющим его). Применим к параллелепипеду тео­рему Гаусса. В силу малости линейных размеров можно принять, что плотность заряда  на поверхности ds проводящего тела, попавшей внутрь параллелепипеда, одна и та же. Полный заряд внутри рассматриваемого объема равен ds.

Поток вектора D через верхнюю грань объема равен Dds=Dds. Потока вектора D через боковые грани объема в силу малости последнего и в силу того, что вектор D скользит по ним, нет. Через «дно» объема поток также отсутствует, так как внутри проводящего тела E=0 и D=0 ( проводящего тела есть величина конечная). Таким образом, поток вектора D из объема равен Dds=ds или D=0.

11.23. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями

На грани раздела двух диэлектриков выполняются два следующих условия:

1. Равны тангенциальные составляющие напряженности поля

E_1t=E_2t. (11.36)

2. Равны нормальные составляющие электрической индукции

D_1n=D_2n. (11.37)

Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2—ко второму.

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле по любому замкнутому контуру. Второе условие представляет собой следствие теоремы Гаусса. Покажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замкнутый контур mnpqm (рис. 11.11) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с электрической проницаемостью ₂, нижняя — в диэлектрике с ₁. Длину стороны mn, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры nр и qm бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая на пути mn равна Е₂ dl₂= E_2tdl, по пути pq Е₁ dl₁= -E_1tdl. Знак минус появился как следствие того, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора E₁ направлены в противоположные стороны (cos 180°= —1).

Таким образом, или Е_1t=Е_2t. Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на грани раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед (рис. 11.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды, и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на грани раздела рассмотрим отдельно), поэтому

.

Поток вектора D через верхнюю грань площадью ds равен D₂ds₂= D_2nds.

Рис.11.11. Тангенциальные составляющие вектора E на границе раздела двух диэлектриков.

Поток через нижнюю грань D₁ds₁ = - D_1nds;

| ds₁ | = | ds₂ | = ds.

Следовательно,

или

D_1n=D_2n.

При наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов с плотностью  (это встречается весьма редко)

,

т. е. при этом

D_2n- D_1n= . (11.38)

Рис.11.12. Нормальные составляющие вектора D на границе раздела двух диэлектриков.

Другими словами, при наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на величину плотности свободных зарядов на грани раздела.

Потенциал есть функция непрерывная, поэтому на границе раздела двух сред потенциал не претерпевает скачков.