- •Раздел второй теоретические основы электромагнитного поля
- •Глава одиннадцатая электростатическое поле
- •11. 1. Определение электростатического поля
- •11.2. Закон Кулона
- •11.3. Основные величины, характеризующие электростатическое поле: потенциал и напряженность
- •11.4. Электростатическое поле - поле потенциальное
- •11.5. Силовые и эквипотенциальные линии
- •11.6. Выражение напряженности в виде градиента от потенциала
- •11.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)
- •11.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора через поверхность
- •11.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества
- •11.11. Вектор поляризации
- •11.12. Вектор электрической индукции d
- •11.13. Теорема Гаусса в интегральной форме
- •11.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда
- •11.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •11.16. Вывод выражения для div е в декартовой системе координат
- •11.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции
- •11.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
- •11.20. Граничные условия
- •11.21. О поле внутри проводящего тела в условиях электростатики
- •11.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика
- •11.23. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями
- •11.24. Теорема единственности решения
- •11.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения
- •11.26. Поле заряженной оси
- •11.27. Поле двух параллельных заряженных осей
- •11.28. Поле двухпроводной линии
- •11.29. Емкость
- •11.30. Емкость двухпроводной линии
- •11.31. Метод зеркальных изображений
- •11.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •11.33. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла
- •11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла
- •11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла
- •11.36. Шар в равномерном поле
- •11.37. Проводящий шар в равномерном поле
- •11.38. Диэлектрический шар в равномерном поле
- •11.39. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле
- •11.40. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях
- •ПояснениЯ к решению задач
- •Примеры РешениЯ задач
- •Основные формулы
- •Контрольные вопросы
11.5. Силовые и эквипотенциальные линии
Электростатическое поле можно наглядно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия— это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и оканчивающаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой точке ее дает направление напряженности поля Е в этой точке. Вдоль силовой линии передвигался бы весьма малый положительный заряд, если бы он имел возможность свободно перемещаться в поле и если бы он не обладал инерцией. Таким образом, силовые линии имеют «начало» (на положительно заряженном теле) и имеют «конец» (на отрицательно заряженном теле). Так как положительный и отрицательный заряды, создающие поле, не могут быть в одной и той же точке, то силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми сами на себя линиями. В электростатическом поле могут быть проведены эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями) (рис.11.3, б). Из самого определения эквипотенциальной поверхности следует, что перемещение по ней не вызовет изменения потенциала. Точно так же и перемещение вдоль эквипотенциальной линии не связано с изменением потенциала.
Силовые линии
а) Эквипотенциали
Рис.11.3. Графическое изображение электростатического поля в виде силовых и эквипотенциальных линий (а), и изображение grad (б).
Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом. На рис. 11.3, а) для примера изображены два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных линий.
В противоположность силовым линиям эквипотенциальные линии электростатического поля являются замкнутыми сами на себя линиями. Как уже говорилось, напряженность электрического поля Е и потенциал связаны друг с другом связью интегрального вида (11.2). Кроме нее между Е и существует и связь дифференциального вида. Она рассмотрена в следующем параграфе.
11.6. Выражение напряженности в виде градиента от потенциала
Как уже говорилось, электростатическое поле является полем потенциальным. Между двумя близко расположенными точками поля имеется в общем случае некоторая разность потенциалов.
Если эту разность поделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки. В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной функции. Под градиентом скалярной функции понимают скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания. В этом определении градиента существенны два положения. Первое то, что направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, что скорость изменения потенциала максимальна. Второе то, что направление это таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает (не убывает). На рис. 11.3, б изображены отрезки двух весьма близкорасположенных эквипотенциалей. Одна из них имеет потенциал 1, другая—2. Пусть 1 > 2. Тогда, в соответствии с приведенным определением градиента потенциала, последний изобразится на рис. 11.3.б вектором, перпендикулярным к эквипотенциальным линиям и направленным от 2 к 1 (в сторону увеличения потенциала). Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (1) к более низкому (2). Если расстояние по перпендикуляру (по нормали) между эквипотенциальными поверхностями обозначить dn и через dn обозначить вектор, совпадающий с направлением Е,
.
(здесь n° — единичный вектор по направлению dn), то тогда можно на основании соотношения (11.2) записать выражение:
,
где через d = 2 — 1 обозначено приращение потенциала при переходе от точки 1 к точке 2.
Так как векторы Ē и dn совпадают по направлению, то скалярное произведение Ē dn равно произведению модуля Е на модуль
dn(Edn= Edn).
Таким образом, Edn = - d. Отсюда модуль напряженности поля Е= . Вектор напряженности поля Е = Е n °. Следовательно,
(11.5)
В свою очередь из определения градиента следует, что
. (11.6)
Сопоставляя (11.5) и (11.6), замечаем, что
. (11.7)
Соотношение (11.7) может быть истолковано следующим образом: напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке поля, взятой с обратным знаком. Знак минус имеет вполне определенный смысл: направление Е и направление grad противоположны (рис. 11.3б).
Нормаль dn в общем случае может быть расположена таким образом, что не совпадет с направлением какой-либо координатной оси. И потому градиент потенциала в общем случае может быть представлен в виде суммы трех проекций по координатным осям. Например, в декартовой системе координат
, (11.8)
где - представляет собой скорость изменения в направлении оси х, —есть числовое значение (модуль) скорости (скорость-величина векторная), i, j, k— единичные орты, соответственно, по осям х, у, z декартовой системы.
В свою очередь, вектор напряженности Ē = Е + Еy + Еz.
Таким образом,
.
Два вектора равны друг другу только тогда, когда равны друг другу соответствующие проекции их. Следовательно,
; ; . (11.9)
Соотношения (11.9) следует понимать так: проекция напряженности поля на ось х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси х, взятой с обратным знаком, и т. д.
Для сокращения записи различных операций над скалярными и векторными величинами употребляется дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла).