- •Раздел второй теоретические основы электромагнитного поля
- •Глава одиннадцатая электростатическое поле
- •11. 1. Определение электростатического поля
- •11.2. Закон Кулона
- •11.3. Основные величины, характеризующие электростатическое поле: потенциал и напряженность
- •11.4. Электростатическое поле - поле потенциальное
- •11.5. Силовые и эквипотенциальные линии
- •11.6. Выражение напряженности в виде градиента от потенциала
- •11.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)
- •11.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора через поверхность
- •11.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества
- •11.11. Вектор поляризации
- •11.12. Вектор электрической индукции d
- •11.13. Теорема Гаусса в интегральной форме
- •11.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда
- •11.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •11.16. Вывод выражения для div е в декартовой системе координат
- •11.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции
- •11.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
- •11.20. Граничные условия
- •11.21. О поле внутри проводящего тела в условиях электростатики
- •11.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика
- •11.23. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями
- •11.24. Теорема единственности решения
- •11.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения
- •11.26. Поле заряженной оси
- •11.27. Поле двух параллельных заряженных осей
- •11.28. Поле двухпроводной линии
- •11.29. Емкость
- •11.30. Емкость двухпроводной линии
- •11.31. Метод зеркальных изображений
- •11.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •11.33. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла
- •11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла
- •11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла
- •11.36. Шар в равномерном поле
- •11.37. Проводящий шар в равномерном поле
- •11.38. Диэлектрический шар в равномерном поле
- •11.39. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле
- •11.40. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях
- •ПояснениЯ к решению задач
- •Примеры РешениЯ задач
- •Основные формулы
- •Контрольные вопросы
11.12. Вектор электрической индукции d
Кроме двух векторных величин E и Р, имеющих рассмотренный выше физический смысл, в электротехнические расчеты вводят еще вектор D.
Вектор D называют вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. Он следующим образом выражается через векторы Е и Р:
,
так как
, (11.14)
то
, (11.15)
; . (11.16)
Коэффициент r называют относительной диэлектрической проницаемостью. Он показывает, во сколько раз электрическая проницаемость вещества () больше, чем электрическая постоянная (0), характеризующая электрические свойства вакуума; r величина безразмерная.
В практической системе единиц СИ [D] = [Р] [Кл/м2]. Одной из важнейших теорем электростатики является теорема Гаусса.
11.13. Теорема Гаусса в интегральной форме
Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:
. (11.17)
Так как , то теорема Гаусса может быть записана и в такой форме
, (11.18)
т. е. поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, поделенной на произведение 0r.
Обе формы записи находят себе применение. Существенно подчеркнуть, что поток вектора зависит лишь от суммы зарядов и не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности.
Существует еще одна форма записи теоремы Гаусса, отличающаяся от (11.18). Дело в том, что поток вектора Е через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов (qсвб), но и суммой связанных зарядов (qсвяз), находящихся внутри поверхности.
Из курса физики известно, что поток вектора поляризации сквозь любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности
.
Поэтому формулу (11.16) можно переписать следующим образом
.
Следовательно
или
. (11.18 ’ )
Формулы (11.18) и (11.18') отличаются своими правыми частями.
Теорема Гаусса в интегральной форме с большой эффективностью и простотой может быть использована для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку может быть проведена замкнутая поверхность таким образом, что все эти точки этой поверхности будут в одинаковых (симметричных) условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности. Такой поверхностью является обычно сфера (если заряд точечный) или боковая поверхность цилиндра (если заряд «линейный»). При этом в силу симметричного расположения всех точек поверхности относительно заряда численное значение напряженности поля в различных точках этой поверхности будет одинаковым.