11.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда
В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстоянии R от центра заряда. С этой целью проводим через заданную точку сферическую поверхность радиуса R, полагая, что заряд находится в центре сферы, и применяем к этой сфере теорему Гаусса.
Элемент поверхности сферы ds перпендикулярен к поверхности сферы и направлен в сторону внешней (по отношению к объему внутри поверхности) нормали. В данном примере в каждой точке сферы Е и ds совпадают по направлению. Угол между ними равен нулю. Если учесть, что численное значение Е во всех точках сферы одно и то же, то Е может быть вынесено из-под интеграла:
.
Следовательно, напряженность, создаваемая точечным зарядом q на расстоянии R от него, определится следующим образом
(11.19)
В силу сферической симметрии напряженность поля имеет только одну R-ю составляющую в сферической системе координат. Следовательно,
.
Отсюда
.
(11.20)
Таким образом, потенциал в поле точечного заряда обратно пропорционален первой степени расстояния R от точечного заряда до точки, в которой определяется потенциал; С представляет собой постоянную интегрирования, с точностью до которой определяется потенциал. Напомним, что аналогичные выражения для Е и были получены в 11.4 путем использования закона Кулона.
11.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса была записана в интегральной форме. Интегральная форма давала связь между потоком вектора Е через поверхность s, ограничивающую некоторый объем, и алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри этого объема. Интегральная форма не дает ответа на вопрос, как связан исток линий D в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, поделим обе части уравнения (11.17) на одну и ту же скалярную величину - на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности s:
.
Последнее выражение остается справедливым для объема V любой величины. Устремим объем к нулю:
.
При стремлении
объема к нулю
также стремится к нулю, но отношение
двух бесконечно малых величин
и V есть величина конечная. Предел
отношения потока векторной величины D
сквозь замкнутую поверхность,
ограничивающую некоторый объем к объему
V называют дивергенцией вектора
D(divD).
Часто вместо термина дивергенция
употребляют ему эквивалентный термин
расхождение или исток вектора D.
В правой части последнего выражения
находится объемная плотность свободного
заряда, ее обозначают ρсвб.
Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальной форме записывается следующим образом,
divD=ρсвб , (11.21)
т. е. исток линий D в данной точке поля определяется величиной плотности свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность зарядов в данной точке положительна (ρсвб > 0), то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора D исходят (исток положителен, рис. 1.7). Если в данной точке поля ρсвб < 0, то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка, линии вектора D входят. И, наконец, если в какой-либо точке поля ρсвб =0, то в данной точке поля нет ни истока, ни стока линий D, т. е. в данной точке линии вектора D не начинаются и не заканчиваются.
Рис. 11.7. Иллюстрация дивергенции вектора D (divD).
Если среда однородна и изотропна, то ее =const, и потому вместо (11.21) можно записать следующее выражение
div E = ρсвб.
Вынесем за знак дивергенции
div Е == ρсвб,
следовательно,
.
(11.22)
Это есть вторая форма записи теоремы Гаусса в дифференциальном виде. Она справедлива только для однородной и изотропной среды. Для неоднородной среды ε является функцией координат, и потому ε не может быть вынесена за знак дивергенции.
Уравнение (11.18') в дифференциальной форме запишется так:
.
(11.22’ )
Следовательно, истоком вектора E, в отличие от истока вектора D, являются не только свободные, но и связанные заряды. В различных системах координат div Е раскрывается различно.