11.37. Проводящий шар в равномерном поле

Для определения четырех постоянных придется привлечь не только условие на поверхности шара, но и условия на весьма большом удалении от шара, теоретически на бесконечно большом удалении от шара или, как принято говорить, «условия на бесконечности».

Совокупность весьма удаленных от шара точек в условном смысле рассматривается при этом как «бесконечность». Если шар будет не заряжен, то все точки плоскости ХОУ, проходящей через центр шара, имеют один и тот же потенциал. Обозначим его ₀.

При удалении от шара на большое расстояние Z= Rcos, по сравнению с которым радиус шара а весьма мал, возмущающее действие шара на поле либо вовсе не проявится (если суммарный заряд шара будет равен нулю),либо проявится как возмущение от точечного заряда (если шар будет иметь на себе суммарный свободный заряд Q). И потенциал  «на бесконечности» определится так:

. (11.58)

Первое слагаемое правой части дает составляющую потенциала от заряда шара Q, слагаемое Е₀Rcos учитывает прирост потенциала от напряженности равномерного поля E₀ на пути Z=Rcos. Так как решение (11.58) годится и для точек поля весьма далеко («бесконечно» далеко), удаленных от шара, то можно сопоставить выражения (11.57) и (11.58). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны друг другу. Из сопоставления следует, что

C₂=₀; ; C₃=E₀.

Сопоставление «на бесконечности» не дает возможности найти величину C₄, так как в (11.58) нет слагаемого, изменяющегося обратно пропорционально второй степени R. Для нахождения С₄ воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал, это условие равносильно тому, что тангенциальная составляющая напряженности поля на поверхности шара равна нулю. При R = 

.

Очевидно, что правая часть будет постоянной при изменении  только при условии, что = 0. Отсюда

С₄= - E₀a³.

Таким образом, для всех точек диэлектрика

Так как потенциал зависит только от R и , то напряженность электрического поля имеет только две составляющих

и

.

Если Q = 0, то на поверхности шара (при R = a)

E_R= -3E₀cos

При =0 E_r= -ЗЕ_о; при =180⁰ E_R=3E₀, т. е. в этих точках напряженность поля стала в три раза больше напряженности равномерного поля Е₀, в которое был внесен шар. На «экваторе» при ( = 90°) напряженность, напротив, стала равной нулю.

Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с масляным заполнением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля.

11.38. Диэлектрический шар в равномерном поле

Если в равномерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то, как внутри шара, так и вне шара, нет свободных зарядов и потому поле описывается уравнением Лапласа. И общее решение (11.57) годится и для данной задачи. Величинам, служащим для описания поля внутри шара, «припишем» индекс i, а величины, при помощи которых записывается потенциал во внешней по отношению к шару области, снабдим индексом е. Таким образом, для «внутренней» области

. (11.59)

Для «внешней» области:

. ( 11.60)

Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал «на бесконечности» в этом случае

=₀+E₀Rcos.

Сопоставляем последнее выражение с (11.60):

С_2e=₀ и С_3e=Е₀.

В п.11.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было показано, что потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально R. Поэтому составляющая есть не что иное, как составляющая потенциала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении для _e эта составляющая должна выпасть. Другими словами,

C_1e=0.

Следовательно,

. (11.60')

В последнем выражении осталась неизвестна лишь одна постоянная С_4e. Рассмотрим выражение потенциала _i, для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это может быть только тогда, когда С_1i = О и C_4i = 0 (если бы С_1i 0, то слагаемое в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно большое значение). Постоянная С_2i, с точностью до которой определяется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной постоянной С_2e = ₀ для внешней области. Таким образом, для внутренней области

. (11.59')

Две оставшиеся неизвестными постоянные С_4e и С_3i найдем из граничных условий.

Из равенства потенциалов _e и _i при R = а (это условие, как нетрудно убедиться, эквивалентно условию Е_1t = Е_2t) следует, что

.

Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе следует, что

,

т. е.

.

Совместное решение двух последних уравнений дает

,

.

Потенциал внутренней области

. (11.61)

z=Rcos.

Потенциал внешней области

. (11.62)

Напряженность поля внутри шара

;

Е направлена вдоль оси z и не зависит от координат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное.

На рис. 11.20 изображены линии вектора D и эквипотенциальные линии («картина поля») для трех случаев:

а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен незаряженный проводящий шар;

б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, _i которого больше _e окружающей среды;

в) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, _i которого меньше _e окружающей среды.

Как известно из предыдущего (п. 11.15), линии вектора D начинаются на свободных зарядах. Эти линии прерываются на поверхности металлического шара (рис.11.20, а) и проходят, не прерываясь, через диэлектрический шар (рис. 11.20, б и в). Если на рис.11.20, б и в вместо линий вектора D изобразить линии вектора напряженности поля Е, то линии Е претерпевали бы разрыв на поверхности шаров.

Р ис. 11.20. Картина электрического поля при внесении в равномерное поле: а) - проводящего шара, б) – диэлектрического шара при _i >_e , в) - диэлектрического шара при _i <_e.