- •Раздел второй теоретические основы электромагнитного поля
- •Глава одиннадцатая электростатическое поле
- •11. 1. Определение электростатического поля
- •11.2. Закон Кулона
- •11.3. Основные величины, характеризующие электростатическое поле: потенциал и напряженность
- •11.4. Электростатическое поле - поле потенциальное
- •11.5. Силовые и эквипотенциальные линии
- •11.6. Выражение напряженности в виде градиента от потенциала
- •11.7. Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)
- •11.8. Выражение градиента потенциала в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.9. Поток вектора через элемент поверхности и поток вектора через поверхность
- •11.10. Свободные и связанные заряды. Поляризация вещества
- •11.11. Вектор поляризации
- •11.12. Вектор электрической индукции d
- •11.13. Теорема Гаусса в интегральной форме
- •11.14. Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда
- •11.15. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •11.16. Вывод выражения для div е в декартовой системе координат
- •11.17. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции
- •11.18. Выражение div e в цилиндрической и сферической системах координат
- •11.19. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
- •11.20. Граничные условия
- •11.21. О поле внутри проводящего тела в условиях электростатики
- •11.22. Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика
- •11.23. Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями
- •11.24. Теорема единственности решения
- •11.25. Общая характеристика задач электростатики и методов их решения
- •11.26. Поле заряженной оси
- •11.27. Поле двух параллельных заряженных осей
- •11.28. Поле двухпроводной линии
- •11.29. Емкость
- •11.30. Емкость двухпроводной линии
- •11.31. Метод зеркальных изображений
- •11.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •11.33. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла
- •11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла
- •11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла
- •11.36. Шар в равномерном поле
- •11.37. Проводящий шар в равномерном поле
- •11.38. Диэлектрический шар в равномерном поле
- •11.39. Диэлектрический цилиндр в равномерном поле
- •11.40. Понятие о плоскопараллельном, плоскомеридианном и равномерном полях
- •ПояснениЯ к решению задач
- •Примеры РешениЯ задач
- •Основные формулы
- •Контрольные вопросы
11.4. Электростатическое поле - поле потенциальное
Составим выражение для разности потенциалов в поле точечного заряда. С этой целью положим, что в точке m(рис. 11.2.) находится положительный точечный заряд q1, создающий поле, а из точки 1 в точку 2 через промежуточную точку 3 перемещается единичный положительный заряд q=1.
Обозначим: R1 — расстояние от точки m до исходной точки 1, R2— расстояние от точки m до конечной точки 2, R—расстояние от точки m до произвольной точки 3 на пути 132. Направление напряженности поля Е и направление элемента пути dl в промежуточной точке 3 показано на рис. 11.2. Скалярное произведение Edl=EdR, где dR есть проекция элемента пути dl на направление радиуса, соединяющего точку m с точкой 3. В соответствии с определением, напряженность поля
.
По закону Кулона
.
Так как \R0\= 1 и q = 1, то модуль напряженности поля в поле точечного заряда q1 равен
Подставим в формулу (11.2) вместо Edl величину dR. Получим
. (11.3)
Таким образом, разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому происходило перемещение из исходной точки в конечную точку.
Другими словами, если перемещение из точки 1 в точку 2 будет происходить по какому-то другому пути, например, по пути 142, то разность потенциалов 1 - 2, полученная в этом случае, будет в точности равна разности потенциалов 1 - 2 при перемещении из точки 1 в точку 2 по пути 132. Если поле создано совокупностью точечных зарядов, то проделанный выше вывод справедлив для поля, созданного каждым из точечных зарядов в отдельности. А так как для электрического поля в однородном и изотропном диэлектрике справедлив принцип наложения, то вывод о независимости величины разности потенциалов 1 - 2 от пути, по которому происходило перемещение из точки 1 в точку 2, справедлив и для электрического поля, созданного совокупностью точечных зарядов. Если пройти по замкнутому пути 13241 (рис. 11.2), то исходная точка пути (1) и конечная точка пути (1) совпадут, и тогда и левая и правая части формулы (11.2) будут равны нулю
. (11.4) Кружок на знаке интеграла свидетельствует о том, что интеграл берется по замкнутому контуру.
Соотношение (11.4) означает, что в электростатическом поле линейный интеграл от напряженности электрического поля, взятый вдоль любого замкнутого пути, равен нулю.
Физически это объясняется тем, что при движении вдоль замкнутого пути совершена определенная работа силами поля и такая же работа совершена внешними силами против сил поля.
Если условиться работу, совершенную силами поля, считать положительной, а работу, совершенную против сил поля, отрицательной, то сумма «положительных» и «отрицательных» работ равна нулю.
Выражение (11.4) можно трактовать и так: циркуляция вектора Е вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это соотношение выражает собой основное свойство электростатического поля. Поля, для которых выполняются подобного рода соотношения, называются потенциальными. Потенциальными являются не только электростатические поля, но и все гравитационные поля (поля сил тяготения между материальными телами), установившиеся температурные поля около нагретых тел и т. д.