11.34. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла

Решим систему (11.46) относительно зарядов, полагая потенциалы  и коэффициенты  известными:

₁=₁₁₁ +₂₁₂ +₃₁₃+…

₂=₁₂₁ +₂₂₂ +₃₂₃+… (11.47)

₃ = ₁₃₁+₂₃₂+₃₃₃+…

Коэффициенты . Здесь через  обозначен определитель системы (11.46)

₁₁ ₁₂ ₁₃ …

 = ₂₁ ₂₂ ₂₃ … .

₃₁ ₃₂ ₃₃ …

Алгебраическое дополнение _kn получается из определителя системы  путем вычеркивания k строки и n столбца и умножения таким путем полученного определителя на (-1)^k+n.

Система (11.47) является второй группой формул Максвелла. Коэффициенты  называют емкостными коэффициентами. Размерность их обратна размерности коэффициента . Так как определитель системы  симметричен относительно главной диагонали, то _kn = _nk, и потому _kn = _nk Вcе  c одинаковыми индексами положительны, все  с разными индексами отрицательны.

Убедимся, например, в том, что ₁₁ положительно, а ₂₁, ₃₁ отрицательны. С этой целью проделаем такой опыт: все провода, кроме первого, соединим тонкими (чтобы не искажать поля) проводниками с землей. Потенциал земли примем равным нулю. При этом из (11.47) следует, что

₁ = ₁₁₁

₂ = ₂₁₁ (11.47')

₃ = ₃₁₁

Придадим первому проводу положительный по отношению к земле потенциал, соединив его с землей, например, через батарею (рис. 11.19, а). Заряд первого провода положителен и потенциал первого провода положителен (₁>0; ₁ > 0).Отрицательный заряд растечется по земле и по всем телам, с ней электрически соединенными.

Все провода, кроме первого, поскольку они электрически соединены с землей, приобретут отрицательные заряды

₂ = 0 ₂ < 0,

₃ = 0 ₃ < 0.

Рис. 11.17. Система проводящих тел (линия электропередачи).

Из системы (11.47') следует, что ₁₁ = ₁/₁ >0, а ₂₁ = ₂/₁ < 0 и ₃₁ = ₃/₁.

Коэффициенты _km, и _kk могут быть определены и опытным путем. Рассмотрим, как определить коэффициенты ₁₁ и ₂₂.

Если после зарядки провода 1 (ключ К. на рис. 11.17,а включен) до известного потенциала ₁ ключ К разомкнуть, убрать батарею, включить гальванометры G₁ и G₂ (рис. 11.17, б) и затем замкнуть ключ К, то система разрядится; G₁ измерит заряд ₁; G₂ измерит заряд ₂. Далее находим ₁₁ = ₁/₁ и ₂₁ = ₂/₁.

11.35. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла

Систему (11.47) принято записывать еще и в иной форме, а именно так, чтобы в каждой строчке справа были не потенциалы, а разности потенциалов между данным телом и всеми остальными, в том числе и землей. В соответствии с (11.47) заряд k тела равен

.

Слагаемое

_km_m = _km(_m - _k + _k) = -_kmU_km + _km_k.

Поэтому

.

Обозначим

C_kk = _k1 + _k2 +…+ _kk +…+_kn =

и

С_km = - _km.

Тогда

_k = _kC_kk + U_k1C_k1 + U_k2C_k2 + …=_kC_kk + . (11.48)

Если придать k значения 1, 2, 3, то получим

₁ = ₁C₁₁ + U₁₂C₁₂ + U₁₃C₁₃ + …

₂ = ₁C₂₂ + U₂₁₂₁ + U₂₃C₂₃ + … (11.48’)

……………………………. …

Система (11.48) является третьей группой формул Максвелла. Коэффициенты С_kk называют собственной частичной емкостью, коэффициенты С_km—взаимные частичные емкости. Часто слова «собственная» и «взаимная» опускают.

Так как

_km = _mk,

то и

C_km = C_mk.

Размерность частичных емкостей та же, что и размерность емкостных коэффициентов . Все частичные емкости положительны. Так как С_km = - _km, а _km < 0, то, очевидно, что С_km > 0. Для того чтобы убедиться в том, что С_kk положительно, проведем следующий опыт: соединим тонкими металлическими проводниками все провода с k проводом. Все U_km=0, и из (11.48) следует, что _k = _kC_kk.

Если первому проводу сообщить положительный по отношению к земле потенциал (потенциал земли принят равным нулю), соединив его с плюсом батареи, минус которого соединен с землей, то _k и _k будут положительными и отношение их С_kk = _k/_k > 0; C_kk оказывается положительным, несмотря на то, что в состав его может входить большое число отрицательных коэффициентов _km (коэффициент _kk больше, чем ). Полный заряд k тела равен сумме зарядов. Заряд _kС_kk обусловлен разностъю потенциалов между k телом и землей; U_kmC_km заряд, обусловленный разностью потенциалов между k и m телами. Поэтому частичной емкости C_km между k и m телами можно дать следующее толкование; С_km есть отношение составляющей заряда k тела, обусловленной разностью потенциалов U_km между k и m телами, к величине этой разности потенциалов.

Для более наглядной иллюстрации системы (11.48) можно представить, что в системе трех проводов (рис. 11.18) первый провод как бы соединен с обкладками трех конденсаторов С₁₁, С₁₂, и C₁₃. Заряды на обкладках этих конденсаторов, обращенных к проводу 1, соответственно равны ₁C₁₁; U₁₂C₁₂; U₁₃C₁₃. Заряды на других обкладках записаны на рис. 11.18.

Рис. 11.18. Частичные емкости системы проводящих тел.

Три группы формул Максвелла справедливы для системы заряженных тел любой формы, однако, если тела имеют произвольную форму, то потенциальные коэффициенты уже не могут определяться по формулам (11.46'), справедливым только для системы линейных бесконечно длинных проводов.

Определение емкостных коэффициентов и частичных емкостей в этом случае производится опытным путем. Частичные емкости используются при расчетах не только электростатических полей, они находят применение при расчетах быстропротекающих процессов в электрических цепях, а также при расчетах таких процессов в электрических цепях, в основу которых положено использование частичных емкостей, например, при емкостном отборе мощности от высоковольтной линии электропередачи. Частичные емкости между электродами электронных ламп, между электродами полупроводниковых триодов учитывают при расчетах быстропротекающих процессов.