11.32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

З аряженная ось (—заряд на единицу длины) расположена параллельно поверхности проводящей среды (рис. 11.16, а). Проводящей средой может быть какая-либо металлическая стенка или, например, земля. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике). Вследствие явления электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты х. Поле в диэлектрике создается не только заряженной осью, но и зарядами, выступившими на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции. Несмотря на то, что распределение плотности зарядов на поверхности неизвестно, данная задача сравнительно легко может быть решена по методу зеркальных изображений.

Р ис. 11.16. Картинка поля заряженной оси, расположенной над проводящей плоскостью.

В данной задаче фиктивный заряд численно равен заданному, но имеет обратный знак. Так будет не всегда, т. е. не во всех задачах искусственно введенный заряд будет численно равен заданному и иметь противоположный знак.

Убедимся, что напряженность поля от двух зарядов ( и -) в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе составляющую и не имеет тангенциальной составляющей. Действительно, тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают нуль в любой точке поверхности.

Можно убедиться в том, что потенциал от каждой из осей, определяемый формулой (11.40), удовлетворяет уравнению Лапласа (формуле 11.28). Для того чтобы проверить это, следует подставить правую часть формулы (11.40) в формулу (11.28) и убедиться в том, что ² будет равно нулю

.

Так как потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа и в то же время удовлетворено граничное условие, то на основании теоремы единственности полученное решение есть истинное.

Картина поля заряженной оси, расположенной параллельно проводящей плоскости, изображена на рис. 11.16, б). Силовые линии перпендикулярны поверхности провода и поверхности проводящей плоскости. Значки минус на поверхности проводящей плоскости обозначают отрицательные заряды, выявившиеся на ее поверхности в результате электростатической индукции.

11.33. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла

Точка М может быть помещена на поверхность первого провода. При этом _м =₁; b_m1 = 2h₁, a_1m = r₁, b_m2 = b₁₂ — расстояние первого провода до зеркального изображения второго провода, a_m2 = a₁₂^— расстояние первого провода до второго провода и т. д.

Коэффициенты при зарядах ₁, ₂ и др. зависят только от геометрических размеров тел, взаимного их расположения и от свойств среды. Они не зависят ни от величины, ни от знака зарядов и потенциалов.

Для сокращения записи последнюю строчку запишем следующим образом:

 ₁ = ₁₁₁ + ₂₁₂ + ₃₁₃ + …

Аналогично _{2 =} ₁₂₁ + ₂₂₂ + ₃₂₃ +… (11.46)

₃ = ₁₃₁ + ₂₃₂ + ₃₃₃ + …

здесь

( 11.46 ')

Коэффициент . Так как b_mk = b_km„ и a_mk = а_km, то _km = _mk .

Систему уравнении (11.46') принято называть первой группой формул Максвелла.

Коэффициенты  называют потенциальными коэффициентами. Размерность их равна размерности единицы длины, поделенной на фараду. Так как у всех коэффициентов  под знаком логарифма стоит дробь, числитель которой всегда больше знаменателя, то все коэффициенты  положительны.

Коэффициентам  может быть дано следующее толкование: пусть заряды всех проводов, кроме первого, равны нулю

₂ = ₃ = ₄ =…=0 a ₁ = 1.

Тогда ₁ = ₁₁, т. е. ₁₁ численно равно потенциалу первого провода, если на первом проводе находится единичный заряд, а заряды на остальных проводах отсутствуют. Аналогично, ₂₁ численно равно потенциалу второго провода в тех же условиях. Система (11.46) позволяет подсчитать потенциалы заряженных тел по известным общим зарядам тел.

Может встретиться и обратная задача: по известным потенциалам тел найти общие заряды тел.