Глава четырнадцатая основные уравнения переменного электромагнитного поля

14.1. Определение переменного электромагнитного поля

Под переменным электромагнитным полем понимают совокупность изменяющихся во времени и взаимно связанных и обусловливающих друг друга электрического и магнитного полей. Оно определяется двумя векторными величинами - напряженностью электрического поля Е и напряженностью магнитного поля Н. Переменное электромагнитное поле является одним из видов материи. Оно обладает энергией, массой, количеством движения, может превращаться в другие виды материи и самостоятельно существовать в виде электромагнитных волн. Любые возмущения поля в диэлектрике с огромной скоростью, для вакуума равной примерно 3·10⁸ м/с, передаются на большие расстояния.

При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле пользуются уравнениями Максвелла. Систему уравнений Максвелла образуют четыре уравнения:

1) уравнение (14.1), выражающее связь между ротором напряженности магнитного поля и плотностью тока в той же точке поля, — первое уравнение Максвелла;

2) уравнение (14.4), которое определяет связь между ротором напряженности электрического поля и скоростью изменения магнитного поля в той же точке поля, — второе уравнение Максвелла;

3) уравнение div B = 0, выражающее принцип непрерывности магнитного потока [оно следует из (14.4) после взятия от обеих частей его дивергенции];

4) уравнение div E = _своб/_а. выражающее связь между истоком напряженности электрического поля и плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Эту систему дополняют уравнением непрерывности и теоремой Пойнтинга.

14.2. Первое уравнение Максвелла.

Первое уравнение Максвелла записывают следующим образом:

. (14.1)

В правой части его имеются две плотности тока: плотность тока по проводимости  и плотность тока электрического смещения . Ток электрического смещения возникает в любом диэлектрике, в том числе и в вакууме, при изменении напряженности электрического поля во времени. Ток смещения порождает магнитное поле так же, как и ток проводимости. Хотя природа тока проводимости и тока смещения неодинакова, оба они обладают одним и тем же свойством — вызывать магнитное поле.

Таким образом, смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что всякое изменение электрического смещения во времени в некоторой точке поля (т. е. возникновение в ней тока смещения) на таких же правах, как и ток проводимости, вызывает в этой точке вихрь магнитного поля (rot H), т. е. вызывает вихревое магнитное поле. Если среда однородна и изотропна, то _a = const и тогда

.

С током смещения в предыдущих разделах приходилось встречаться неоднократно. Так, известно, что при зарядке конденсатора через него протекает ток. Этот ток протекает через диэлектрик и является током смещения. Если, например, взять незаряженный плоский воздушный конденсатор и подключить его к источнику э.д.с. напряжением U через сопротивление R, то напряжение на обкладках конденсатора будет расти по закону . Так как напряженность электрического поля в плоском конденсаторе Е = u_C/d, где d — расстояние между обкладками, то E = . Емкость плоского конденсатора С = .

Ток смещения, протекающий через единицу поверхности сечения диэлектрика, взятой перпендикулярно силовым линиям,

.

Через поверхность S ток смещения в S раз больше, т. е. он равен току проводимости, протекающему по проводникам, соединяющим конденсатор с источником э.д.с.

Отметим, что первое уравнение Максвелла представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.

Убедимся в том, что из закона полного тока следует уравнение (14.1). С этой целью возьмем произвольный контур и составим для него уравнение по закону полного тока. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, равен сумме тока проводимости и тока смещения. Поэтому

.

На основании теоремы Стокса . Следовательно,

. (14.2)

Равенство (14.2) должно выполняться при любой площади S, поэтому

.