Пояснения к решению задач

Настоящий раздел является наиболее трудным и поэтому при изучении материала раздела необходимо повторить соответствующие разделы высшей математики (векторный анализ, дифференциальные уравнения в частных производных), а также основные определения, относящиеся к магнитному и электрическому полям.

Раздел начинается с изучения основных уравнений электромагнитного поля. Уравнения Максвелла связывают в дифференциальной форме значения величин Н, Е, D, В, харак­теризующих электромагнитное поле в смежных точках пространства в смежные моменты времени. Эти уравнения выражают, что всякое изменение поля (электромагнитное возмущение) передается в пространстве в виде некоторого процесса, протекающего во времени.

Электромагнитная волна несет с собой энергию и импульс (количество движения). Это было предсказано П. А. Умовым в его учении о движении энергии, это было экспериментально доказано опытами П.Н.Лебедева по световому давлению. Электромагнитное поле характеризуется следующими уравнениями

, ,

, .

В случае гармонического изменения напряженностей поля по времени ; первые два уравнения Максвелла принимают вид

.

В электростатическом поле rotE = 0. Этим уравнением, как известно, отмечается тот факт, что в поле электростатическом величина работы не зависит от формы пути. Такие поля были названы полями потенциальными.

В случае, когда электрические поля возникают в результате изменения полей магнитных, значение rot E отлично от нуля, а это обстоятельство указывает лишь на то, что поле электромагнитное уже не потенциальное поле.

Все остальные законы, которые были найдены для статических полей, могут быть применены для полей электромагнитных (то есть полей непотенциальных) с осторожностью и целым рядом оговорок.

Рассмотрим какой-либо объем, ограниченный поверхностью S. Пусть заряд внутри этого объема изменятся (убывает) с некоторой скоростью. Это означает, что через поверхность вытекает некоторый ток i. Величина этого тока, очевидно, равна скорости убыли заряда внутри объема

.

Выражая ток через плотность тока, а заряд q через объемную плотность заряда, получаем

.

Деля обе части равенства на V и переходя к пределу при V0, получим

.

Рассмотрим теперь закон полного тока в дифференциальной форме rotH =  и сопоставим его с только что полученным выражением. Если совместно решить эти два уравнения, то мы получим

.

Этот результат указывает, что уравнение rotН = , справедливое для статического поля, требует уточнения для поля электромагнитного. Можно предположить, что правую часть уравнения rotH = необходимо дополнить так, чтобы . Сделаем это и попытаемся найти, чему должна быть равна эта прибавка , чтобы удовлетворялось уравнение непрерывности

.

Беря дивергенцию от обеих частей равенства, получаем

или

,

но , а значит , откуда .

Таким образом, получаем закон полного тока справедливый и для поля электромагнитного

.

Поскольку величина входит в правую часть уравнения закона полного тока наряду с током , обусловленным движением зарядов, ее, эту величину, называют током смещения (это название происходит из-за того, что ток смещения определяется вектором D, который называют вектором электрического смещения).

Существенно обратить внимание на следующее обстоятельство.

Ток (его называют током проводимости) представляет собою движущиеся с некоторой скоростью заряды. Ток смещения вовсе не ток в только что сказанном смысле, несмотря на то, что он входит одинаковым образом в правую часть закона полного тока. Эта величина указывает лишь на то, что изменения поля электрического (D) сопровождаются появлением поля магнитного (Н), подобно тому, как измене­ния поля магнитного (В) влекут за собою возникновение поля электрического (второе уравнение Максвелла )