- •Глава четырнадцатая основные уравнения переменного электромагнитного поля
- •14.1. Определение переменного электромагнитного поля
- •14.2. Первое уравнение Максвелла.
- •14.3. Уравнение непрерывности
- •14.4. Второе уравнение Максвелла
- •14.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи
- •14.6. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений
- •14.7. Теорема Пойнтинга в комплексной форме записи
- •14.8. Переменное электромагнитное поле в однородной и изотропной среде
- •Пояснения к решению задач
- •Примеры решения задач
- •Основные формулы.
- •Контрольные вопросы
14.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи
Уравнения (14.1) и (14.4) записаны для мгновенных значений. Если H и E изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться символическим методом и записать, эти уравнения (14.1) и (14.4) в иной форме. Пусть
Н = Нm sin (t + н) и Е = Еm sin (t + Е).
Можно записать Н = Im Hmejt (Im — мнимая часть) или, условно, Н ejt, где комплексная амплитуда = Нmejн.
В свою очередь Е ejt ( - значок соответствия).
Так как напряженности Е и Н, кроме того, что они меняются во времени по синусоидальному закону, являются функциями векторными, т. е. определенным образом ориентированными в пространстве векторами, то над ними ставят стрелку и точку: и . Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка — о том, что проекции этого вектора на любую из координатных осей во времени изменяются синусоидально. Тогда можно заменить на ejt:
на ,
и
на ,
(еjt как постоянную величину, не зависящую от координат, можно вынести за знак ротора). При этом первое уравнение Максвелла запишем так:
.
После сокращения на еjt получим
. (14.6)
Аналогично, второе уравнение Максвелла в комплексной форме
. (14.7)
14.6. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений
Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле. Известно, что энергия электрического поля в единице объема равна , а энергия магнитного поля
в единице объема равна . Энергия в объеме dV равна ( )dV.
Для того чтобы образовать выражение, в которое вошла бы полная энергия в объеме dV, умножим (14.1) на EdV, a (14.4) на HdV. Получим:
; (14.8)
. (14.9)
Из (14.8) вычтем (14.9). Получим
. (14.10)
Так как div [EH] = HrotE —ErotH, то левая часть (14.10) есть - div[EH]dV. Следовательно,
.
Д ля сокращения записи обозначим векторное произведение E на Н через П. т. е. примем, что П = [EH]; П —это вектор, называемый ( ) вектором Пойнтинга; размерность его равна произведению размерностей Е и Н: [П]=[Е][Н]= =ВА/м2.
Рис. 14.1. Вектор Пойнтинга направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы Е и Н.
Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 14.1) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от Е к Н. Следовательно,
. (14.11)
Распространим (14.11) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (14.11) по объему V:
. (14.11')
Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный: , объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы Гаусса . Качественно поясним это преобразование. Разобьем объем V (рис. 14.2) на отдельные объемы V, заменим div П на , где S — элемент поверхности объема V, а знак означает суммирование по всем поверхностям объема V. Тогда
.
Первый знак суммы означает суммирование по поверхностям малого объема, а второй — по отдельным объемам. Сумма может быть разбита на две суммы: на сумму выражений по всем поверхностям, отделяющим один объем от соседнего (по «внутренним» поверхностям), и на сумму по всем «периферийным» поверхностям. Первая сумма равна нулю, так как для двух смежных объемов внешние нормали к общей поверхности направлены встречно. Рис. 14.3 поясняет это; mn — общая грань двух объемов.
Рис. 14.2. Объём V разбит на отдельные объёмы ΔV.
Р ис. 14.3.Два смежных объёма ΔV выделенных из общего объёма
Для верхнего объема нормаль к грани направлена вниз (S1), для нижнего — вверх (S2); вектор П, будучи умноженным на (S1 + S2), даст нуль. Сумма по всем периферийным поверхностям и представляет собой .
Теорему Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:
, (14.12)
Левая часть (14.12) представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V.
Поясним смысл знака «минус» в левой части формулы (14.12). Элемент поверхности dS в любой ее точке направлен в сторону внешней по отношению к рассматриваемому объему нормали. Вектор Пойнтинга П направлен внутрь этого объема. Поскольку угол между П и dS больше 90°, то скалярное произведение ПdS < 0, а —ПdS > 0. Таким образом, за счет знака «минус» левая часть формулы (14.12) — величина положительная.
В соответствии с уравнением Джоуля— Ленца в дифференциальной форме Е2 есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени. Поэтому есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в объеме V; есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема.
Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен мощности, выделяющейся в объеме V в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля. Теорему Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть (14.12) есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть (14.12) есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема. Соотношение (14.12) было получено в предположении, что среда внутри объема V однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна, и внутри объема нет источников электродвижущей силы.
Если поле не изменяется во времени, то
0 и .
Обратим внимание также на то, что формула (14.12) учитывает возможность прохождения потока вектора П транзитом через объем V. Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).
П окажем справедливость этого утверждения на простейшем примере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рис. 14.4). Радиус жилы r1, внутренний радиус оболочки r2. Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой (теоретически бесконечно большой), что напряженности поля Е = / в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком. Убедимся, что энергия, передаваемая приемнику в единицу времени, равная UI, действительно канализируется по диэлектрику. С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом r1 и наружным r2. Напряженность магнитного поля в диэлектрике, по закону полного тока: .
Рис. 14.4. Коаксиальный кабель.
Напряженность электрического поля в диэлектрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики:
,
где Q — полный заряд жилы на длине l; U — напряжение между жилой и оболочкой.
Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной на расстоянии r от оси (r1 r r2),
,
(Е и H взаимно перпендикулярны; рис.14.4). Поток вектора Пойнтинга через кольцо с радиусами r1 и г2.
.
Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия действительно передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия к приемнику не передается. Более того, если учесть, что конечна и напряженность электрического поля в жиле и оболочке направлена по току и не равна нулю, то нетрудно убедиться в наличии потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность провода внутрь провода, т. е. провода сами потребляют из диэлектрика энергию на покрытие тепловых потерь.