- •Глава четырнадцатая основные уравнения переменного электромагнитного поля
- •14.1. Определение переменного электромагнитного поля
- •14.2. Первое уравнение Максвелла.
- •14.3. Уравнение непрерывности
- •14.4. Второе уравнение Максвелла
- •14.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи
- •14.6. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений
- •14.7. Теорема Пойнтинга в комплексной форме записи
- •14.8. Переменное электромагнитное поле в однородной и изотропной среде
- •Пояснения к решению задач
- •Примеры решения задач
- •Основные формулы.
- •Контрольные вопросы
Примеры решения задач
Задача 1. Среднее значение индукции в стальном листе толщиной
2b = 0,5 мм составляет Вср = 1В*с/м2; = 0,2 * 107 Ом/м, = 314 1/с.
По кривой намагничивания материала на постоянном токе найдено, что при В = 1 В*с/м2, Н = 180 А/м. Определить удельные потери на вихревые токи.
Решение. Находим магнитную проницаемость
;
и
; ;
.
Задача 2. По проводу течет ток I. Построить график изменения вектора Пойнтинга в пространстве вне провода, пренебрегая потерями энергии в проводе.
Решение. Определяем значение вектора Е и Н в пространстве вне провода: ,
Еr 2r = ( — заряд на единицу длины провода).
Вектор Пойнтинга - . Следовательно, Sz изменяется обратно пропорционально квадрату радиуса.
Заметим, что задача имеет смысл только для области вблизи провода, где можно пренебречь полем обратного провода.
Основные формулы.
Электромагнитные волны в диэлектрике:
Уравнения Максвелла для непроводящей среды ( = 0):
, ;
, .
Уравнение Максвелла в комплексной форме:
; ;
; .
Теорема Пойнтинга для диэлектрика без потерь:
.
Энергия электромагнитного поля:
.
Параметры волны:
коэффициент фазы - ;
длина волны - ;
волновое сопротивление - ;
фазовая скорость - .
Обобщенные (запаздывающие) электродинамические потенциалы:
; .
Зависимость между векторами поля и обобщенными потенциалами:
; ;
.
Основные уравнения электромагнитного поля, выраженные через обобщенные потенциалы:
; .
Граничные условия в электромагнитном поле:
E1t – E2t = 0; D1n – D2n = ;
B1n – B2n = 0; H1t – H2t = 0.
Электромагнитные волны в несовершенном диэлектрике и в проводящей среде. Уравнения Максвелла:
, ;
; при а = сonst.
Уравнения Максвелла в комплексной форме:
; ;
; .
Теорема Пойнтинга:
.
Граничные условия в электромагнитном поле:
E1t – E2t = 0; D1n – D2n = ;
B1n – B2n = 0; H1t – H2t =0.
Зависимость между векторами поля:
; ; .
Параметры волны:
коэффициент распространения - ;
коэффициент затухания - ;
коэффициент фазы - ;
волновое (характеристическое) сопротивление- ;
длина волны - ;
фазовая скорость - ;
групповая скорость - .
Параметры волны в хорошо проводящей среде:
; ;
.
Эквивалентная глубина проникновения волны:
.
Далее приведены основные формулы векторного анализа.
Выражение вектора через проекции (декартовы прямоугольные координаты):
; ;
cos ; cos ; cos .
Сумма двух векторов: ;
Sx = Ax + Bx; Sy = Ay + By; Sz = Az + Bz;
Разность двух векторов: ;
Rx = Ax - Bx; Ry = Ay - By; Rz = Az - Bz;
Скалярное произведение двух векторов:
А*В = АВ cos (А, В) = AxBx + АyВy + АzВz.
Векторное произведение двух векторов:
,
где 1n—единичный вектор по нормали к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы А и В.
Уравнение линии вектора А: ; .
Дифференциальный оператор Гамильтона — набла.
.
Сам вектор не имеет реального значения, он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.
.
Скалярное произведение на вектор E:
.
Векторное произведение:
.
Градиент потенциала: ,
где 1n—единичный вектор по нормали к поверхности = const.
Свойства вихря вектора: divrot a = 0 rot(a + b) = rota + rotb,
rot(Ua) = Urota + gradUa, divab = brota – arotb.
Поток вектора через поверхность S: .
Дивергенция вектора: .
Теорема Гаусса: .
Циркуляция вектора: .
Ротор вектора: .
Проекция ротора на направление n:
,
где площадка S нормальна к направлению n.
Теорема Стокса: ,
где L—периметр поверхности S.
Лапласиан скаляра : .
Лапласиан вектора А: .
Ротор градиента: .
Дивергенция ротора: .
Дивергенция произведения скаляра и вектора:
.
Дивергенция векторного произведения: div[EH] = HrotE - ErotH.
Ротор от ротора: rot rot A = grad div A - 2A.