8.8. Оцінка результатів непрямих вимірювань.

Значення багатьох величин визначаються не прямими вимірюваннями, а на основі вимірювань декількох величин, функцією яких є вимірювана величина:

, (8.24)

де Q- вимірювана величина, значення якої визначається обчисленням на основі результатів прямих вимірювань інших величин;

- величини, значення яких визначаються прямими вимірюваннями.

Таким чином, непрямим вважається вимірювання, при якому іскоме значення величини знаходять на основі відомого рівняння вимірювань.

Прикладом опосередкованого вимірювання є визначення опору R за результатами прямих вимірювань напруги U вольтметром, та струму I амперметром за законом Ома

.

Для запису результату вимірювання необхідно оцінити похибку його визначення.

Похибки непрямих вимірювань величини Q залежать від похибок вимірювань величин a,b,c ... . Це положення дійсне для випадкових і для систематичних похибок.

Для оцінки результатів непрямих вимірювань величини Q будемо вважати, що систематичні похибки вимірювань величин a,b,c,... виключені, а випадкові похибки вимірювання цих величин не залежать одна від одної.

При непрямих вимірюваннях середнє значення вимірюваної величини знаходять за формулою:

, (8.25)

де , ... – середні арифметичні або середні зважені значення величин

В загальному вигляді середню квадратичну похибку непрямого вимірювання величини Q визначають за формулою:

(8.26)

де - так звані часткові похибки непрямого вимірювання, які визначаються наступним чином:

де - часткові похідні функції Q по безпосередньо виміряним величинам a, b,c;

- середні квадратичні відхилення результатів вимірювань величин a,b,c.

Довірчий інтервал непрямо виміряної величини, як і за умови прямих вимірювань, визначають із виразу:

< < .

Розглянемо деякі випадки застосування рівняння (8.26), коли функціональна залежність між величиною, що визначається непрямим вимірюванням, і безпосередньо вимірюваними величинами виражається формулою

,

де k – числовий безрозмірний коефіцієнт .

В цьому випадку формула (8.26) матиме вигляд

,

Якщо α = β = γ = 1 і Q = kabc, то формула середньоквадратичної похибки спрощується

.

8.9. Оцінка результатів нерівноточних вимірювань.

Вище було розглянуто ряд рівноточних вимірювань, в якому ми однаково довіряли результату будь-якого одиничного вимірювання.

На практиці не завжди можна забезпечити повну відтворюваність умов повторних вимірювань. Буває так, що при виконанні декількох серій вимірювань, деякі з них виявляються менш надійними.

В усякому разі при розгляді результатів однієї серії вимірювань і співставленні їх з результатами другої серії виявляється, що результати останньої в більшій степені відрізняються один від одного (тобто мають більший розкид). Результати цих вимірювань при обробці не слід відкидати. Їх можна врахувати, зменшивши їх роль, їх “вагу” в сукупності результатів всіх вимірювань.

Кожну групу результатів вимірювань, що належать однаковим умовам (даний прилад, даний експериментатор), необхідно оцінити з точки зору ступені довіри, визначити їх „вагу” в загальній сукупності всіх результатів, які підлягають обробці, для одержання значення вимірюваної величини, найбільш близького до істинного. При спільній обробці результатів вимірювань декількох нерівноточних груп необхідно знайти відповідну для кожної групи статистичну вагу.

Таким чином поняття “вага” визначає степінь довіри до результату вимірювання. Чим більша степінь довіри до результату, тим більша його вага, тим більше число, що виражає цю вагу.

Дамо визначення ваги результату вимірювань:

Вага результату вимірювання ( ) (вага вимірювання або просто вага) – додатнє число, яке виражає оцінку довіри до того чи іншого окремого результату вимірювання, що входить в ряд (сукупність) нерівноточних вимірювань.

В цьому випадку значення вимірюваної величини, найбільш близьке до її істинного значення, визначається за формулою:

(8.27)

де m - кількість груп вимірювань;

– середні значення для окремих груп вимірювань, отримані тим чи іншим способом;

– їх вага.

Значення х₀ – називається середнім зваженим.

Середнє зважене значення – середнє значення величини, одержане на основі ряду нерівноточних вимірювань із врахуванням ваги окремих результатів, прийнятих до обробки.

Позначення ваги тим же символом, що і ймовірність (р) не випадково. Найбільш правильним значенням ваги для даного результату є його ймовірність. Якщо немає можливості визначити ймовірність, то числові значення ваги встановлюють, виходячи з умов вимірювань

Розглянемо деякі з методів визначення ваги результату вимірювань (вагу на відміну від ймовірності позначимо через ).