3. Середнє квадратичне відхилення результатів вимірювань.

Дисперсія розподілу має розмірність квадрата вимірюваної величини, тому вона незручна для користування. Значно частіше в розрахунках використовується додатнє значення квадратного корня з дисперсії, яке називається середнім квадратичним відхиленням результатів вимірювань:

(7.34)

Середнє квадратичне відхилення від істинного значення (або математичного сподівання) зручніше дисперсії, оскільки воно має ту ж саму розмірність, що сама випадкова величина, а в нашому випадку

ту ж саму розмірність, що і випадкові похибки. Тому середнє квадратичне відхилення часто називають середньоквадратичною похибкою (або стандартною похибкою, стандартним відхиленням).

Середнє квадратичне відхилення відповідає характерній точці кривої нормального розподілу. Абсцисам +σ, -σ відповідають точки перегину кривої (рис.7.8). Ймовірність того, що випадкові похибки вимірювання не вийдуть за межі складає 0,6826 . На рис. 7.8 це відповідає попаданню в заштриховану площу, яка приблизно в 2 рази більша за незаштриховану.

Рис.7.8. Крива нормального розподілу випадкових похибок і

середня квадратична похибка ±σ.

На рис.7.7 кривій 1 відповідає σ = 0,5а; 2 – σ = 1а; 3 – σ = 2а. Як бачимо, чим менша σ, тим більше ймовірність появи малих похибок і менша ймовірність появи великих похибок. Іншими словами, тим більша (або краща) сходимість результатів.

Сходимість результатів вимірювань – характеристика якості вимірювань, яка відбиває близкість один до одного результатів вимірювань однієї і тієї ж величини, виконуваних повторно одними і тими ж засобами вимірювань, одним і тим же методом, в однакових умовах.

В вираз (7.24) входять дві величини, значення яких повністю визначають закон розподілу для кожного конкретного випадку. Це а =

= М і .

Для характеристики розсіювання результатів вимірювань найчастіше використовується математичне сподівання та дисперсія, оскільки вони визначають найважливіші ознаки розподілу: положення центру розподілу і степінь розсіювання результатів вимірювань відносно істинного значення вимірюваної величини.

Розглянутий нормальний розподіл випадкових величин, у тому числі і випадкових похибок, є теоретичним, тому його слід розглядати як “ідеальний”, тобто як теоретичну основу для вивчення випадкових похибок та їх пливу на результат вимірюваннь.

У практиці вимірювань застосовуються різні закони розподілу випадкових похибок: трикутний, трапецієподібний, прямокутний, симетричний, нормальний. Проте найбільше значення має нормальний закон розподілу (закон Гауса).

Головна особливість нормального закону розподілу полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових для вимірювання умовах, при . Теорією ймовірностей доводиться, що густина ймовірностей суми незалежних малих складових при необмеженому збільшенні їх числа наближається до нормального закону розподілу незалежно від того, які закони розподілу мали ці складові. Якщо врахувати, що випадкова похибка є результатом дії великої кількості випадкових чинників, роль кожного з яких при точних вимірюваннях невелика, то стає зрозумілим значення нормального закону в теорії вимірювань.

Значне поширення нормального розподілу похибок у практиці вимірювань пояснюється центральною граничною теоремою теорії ймовірностей, яка є однією з визначних математичних теорем, розроблених видатними математиками:А. де Муавром, П. де Лапласом, К.Ф. Гауссом, П.Л. Чебишевим, А.М. Ляпуновим та ін.

Центральна гранична теорема стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального кожного разу, коли результати спостережень формуватимуться під впливом великої кількості незалежних чинників, кожен з яких справляє лише незначний вплив порівняно із сумарним впливом інших.

Диференційні функції при нормальному законі розподілу результатів спостережень мають дзвоноподібну симетричну форму і забезпечують добре унаочнення про розсіювання результатів вимірювань та випадкових похибок.

При зменшенні середнього квадратичного відхилення < < межі розподілу результатів звужуються (рис.7.7), а вершина дзвону диференціальної функції піднімається вгору.

Ймовірність виникнення малих похибок збільшується, а великих — зменшується, тобто зменшується розсіювання результатів вимірювання відносно дійсної величини і зростає точність вимірювання. Чим точніше виконано вимірювання, тим вище підійматиметься крива розподілу випадкових похибок і зменшуватиметься значення середнього квадратичного відхилення.

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.