7. Результат істинного значення записується у такому вигляді:

; при =0,9 – 0,9973

або (8.20)

; при = 0,9 – 0,9973.

Тобто істинне значення вимірюваної величини з імовірністю знаходиться в межах:

< < (8.21)

Отже, для зменшення впливу випадкових похибок знаходять середнє значення з результатів спостережень. При цьому розкид середнього значення (стандартне відхилення) в разів менший за розкид окремого результату спостереження. Таким чином, для зменшення впливу випадкової похибки у n раз необхідно здійснити спостережень, зокрема для зменшення випадкової похибки в 10 раз необхідно провести 10² = 100 спостережень, а у 100 раз - 100² = 10000 спостережень. Очевидно, що збільшення кількості вимірювань зумовлює пропорційне зростання часу вимірювання.

8.6. Оцінка результатів при малій кількості вимірювань і невідомій дисперсії.

Середнє квадратичне відхилення S є лише деяким наближенням до дійсного значення середнього квадратичного відхилення . Чим менша кількість вимірювань, тим менш надійним є визначення ймовірності для того чи іншого довірчого інтервала описаним вище способом.

При малій кількості вимірювань (n < 40) не можна користуватися формулами нормального розподілу. Ст’юдент вказав на можливість при малій кількості вимірювань визначити довірчу ймовірність або довірчий інтервал для середнього значення в тих випадках, коли невідома. Математичний вираз розподілу Ст’юдента через його складність приводити не будемо.

Послідовність обробки результатів при малій кількості вимірювань співпадає з наведеною вище. Але в цьому випадку довірчі границі випадкової похибки визначаються виразом:

, (8.22)

де - коефіцієнт Ст’юдента, який залежить від кількості вимірювань n і величини довірчої ймовірності .

Для практичного використання цього розподілу користуються таблицями, в яких дано значення коефіцієнта Ст’юдента для різних довірчих імовірностей і різного числа вимірювань n, і навпаки – значення для різних довірчих інтервалів і різного n (додатки 6 та 7).

Результат істинного значення записується у вигляді:

при = 0,9 – 0,9973

або (8.23)

< <

Границі, визначені виразом (8.23), утворюють довірчий інтервал, величина якого зі збільшенням числа вимірювань n зменшується за тієї ж самої довірчої ймовірності.

При n → ∞ розподіл Ст’юдента приводиться до нормального.

В таблицях, які приводяться в підручниках по теорії імовірностей, частіше вказується не кількість вимірювань n, а кількість ступенів вільності k = n – 1.

Замість довірчої ймовірності в деяких джерелах вказується рівень значимості, рівний 1 - .

Знаючи кількість вимірювань n і задавшись довірчою імовірністю , по таблицям можна знайти значення . Помноживши його на S_o, можна визначити границі довірчого інтервалу.

8.7. Наближені обчислення: правила заокруглення і дій з наближеними числами, похибки заокруглення.

Таким чином, результат точного вимірювання визначають двома числами. Наприклад, R = (40,780 ± 0,015) Ом. Похибку зазвичай подають однією-двома значущими цифрами, крім особливо відповідальних вимірювань. Заокруглюють результат так, щоб він закінчувався десятковим знаком того ж розряду, що і похибка. Зайві значущі цифри у цілих числах замінюють нулями, у десяткових дробах відкидають. Отже, результати вимірювань і їх похибок в записі кінцевого результату необхідно представляти наближе­ним числом з певною кількістю значущих цифр.

Значущими цифрами довільного числа називаються всі правильні і перша сумнівна цифри 1,2,3....,9, що входять в число, а також 0 (нуль, якщо він стоїть всередині або справа).

K-та цифра наближеного числа є правильною, якщо абсолютна похибка не перевищує половини одиниці k-го розряду (якщо це розряд одиниць, то при Δ ≤0,5; якщо це розряд десяткових, то при Δ ≤0,05 і т.д.). В противному випадку цифра k-го порядку називається сумнівною (якщо Δ ≥ 0.5·10^k , k = 1, -1, -2, -3, ...).

Це накладає обмеження на вибір числа значущих цифр при запису величини похибки Δх.

Розглянемо два випадки.

1. Число вимірювань 3< n <10:

при запису величини похибки Δх необхідно зберегти дві значущі цифри, якщо перша 1 або 2, і достатньо записати одну значущу цифру, якщо перша 3 і більше (в цьому випадку похибка заокруглення і відкидання другої значущої цифри буде менша, ніж похибка обчислення середньої квадратичної похибки).

2.Число вимірювань n > 10:

при запису величини похибки Δх необхідно залишити дві значущі цифри, якщо перша з них 3 і менше і достатньо зберегти одну (першу) значущу цифру, якщо вона рівна або більше 4.

Для задоволення цього способу визначення числа правильних знаків проводять заокруглення чисел. Нехай після заокруглення в числі повинно залишитись k значущих цифр.

Тоді користуються такими правилами:

• якщо k+1 цифра менше 5, то цифра k не змінюється;

• якщо k+1 цифра більше 5, то цифра k збільшується на 1;

• якщо k+1 цифра дорівнює 5, то можливі два випадки:

а) якщо серед цифр, що відкидаються, крім цифри 5, є відмінні від 0, то k-та цифра збільшується на 1.

б) але якщо ці цифри дорівнюють 0, то: k-ту цифру збільшують на 1, якщо вона непарна, і залишають без змін, якщо вона парна.

Наприклад:

= 1001,77 ± 0,033 => 1001,77 ±0,03

= 237,465 ± 0,127 => 237,46 ± 0,13

= 123357 ± 678 => 123400 ± 700.

Якщо з наближеними числами ще будуть проводитись обчислення, то в них необхідно зберігати не більше двох сумнівних цифр.

Виконуючи математичні операції з наближеними числами, необхідно дотримуватися правила:

після виконання математичних операцій в кінцевому результаті необхідно залишити стільки значущих цифр після ко­ми, скільки їх було в числі з найменшою кількістю таких значущих цифр.

Не слід вважати, що питання заокруглення вирішується приведеними правилами. Наприклад, якщо встановлено, що зазор між деталями не має перевищувати 4 мм, а вимірювання показали, що він дорівнює 4,4 мм, то заокруглювати до 4 мм неприпустимо. В даному випадку зазор не задовільняє встановленій вимозі, а зазор 3,6 мм цій вимозі задовільняє.

Обмеження може мати місце, якщо вимога формулюється словами „повинно бути не менше”. Наприклад, товщина ізолюючого шару повинна бути не менше 4 мм. В цьому випадку товщина ізоляції 3,6 мм неприпустима, і заокруглювати це число до 4 мм було б невірно.

Взагалі кажучи, у всіх випадках при заокругленні слід вказувати допустиму похибку вимірювання. Ця похибка і є критерієм можливості заокруглення, якщо воно необхідно.

До або в процесі обрахування рекомендується аналізувати заокруглені числа, оскільки необережно виконані заокруглення можуть викривити результат. Так, якщо перед множенням число 645,49 заокруглити до 645 і помножити на 9, то отримаємо 5805. При множенні без заокруглення отримаємо 5809,41, що після заокруглення дає 5809.

Важливість належного заокруглювання прикінцевих оцінок похибок і результатів вимірювань полягає в тому, що при надлишкових розрядах похибки і результату (особливо це стосується результатів, отриманих при розрахунках на калькуляторі чи за допомогою програми комп'ютера) може створитися хибна думка про вищу, ніж справжня, точність вимірювання. Результат вимірювання заокруглюють так, щоб його молодший розряд відповідав молодшому розряду заокругленої абсолютної похибки.

Найчастішою похибкою є продовження ділення числа до великої кількості цифр після коми. Наприклад, при вимірюванні довжини кола циліндра отримано значення 798 см; треба визначити діаметр циліндра. Поділивши отримане число на π (3,14) отримуємо 254,14 см. Ділення можна продовжувати далі, але в дійсності треба було зупинитися раніше на 254, оскільки вимірявши довжину кола в см і взявши заокруглене до трьох цифр значення π, ми не можемо розраховувати, що діаметр можна визначити до мм і тим більше до долей мм.