- •Содержание
- •Введение Этапы решения технических задач на пк
- •Методы реализации математических моделей
- •1. Элементы теории погрешностей
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Источники погрешностей
- •1.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей
- •1.4. Правила записи приближенных чисел
- •1.5. Задачи теории погрешностей
- •1.6. Понятия устойчивости, корректности и сходимости
- •1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Методы решения слау
- •2.2.1. Прямые методы решения слау
- •2.2.2. Итерационные методы решения слау
- •2.3. Вычисление определителей высоких порядков
- •2.4. Вычисление обратных матриц
- •2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
- •3. Численное решение нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Отделение корней
- •3.2.1. Метод половинного деления
- •3.2.2. Графическое отделение корней
- •3.3. Итерационные методы уточнения корней
- •3.3.1. Метод простой итерации
- •3.3.2. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.3.3. Метод секущих
- •3.3.4. Метод деления отрезка пополам
- •3.3.5. Метод хорд
- •3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений
- •4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод простой итерации
- •4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка
- •4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций
- •4.3. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными
- •5. Аппроксимация функций
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Интерполирование функций
- •5.3. Типовые виды локальной интерполяции
- •5.3.1. Линейная интерполяция
- •5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция
- •5.4. Типовые виды глобальной интерполяции
- •5.4.1. Интерполяция общего вида
- •5.4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.4.3. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Локальная интерполяция. Рассмотрим два вида локальной интерполяции – линейную и квадратичную.
- •Глобальная интерполяция. Рассмотрим интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
- •5.5. Сплайны
- •5.6. Сглаживание результатов экспериментов
- •5.7. Вычисление многочленов
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Простейшие квадратурные формулы
- •6.2.1. Формула прямоугольников
- •6.2.2. Формула трапеций
- •6.2.3. Формула Симпсона
- •6.3. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом
- •6.3.1. Составная формула прямоугольников (средних)
- •6.3.2. Формула трапеций
- •6.3.3. Формула Симпсона
- •6.4. Выбор шага интегрирования для равномерной сетки
- •6.4.1. Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей
- •6.4.2. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам
- •6.5. Составные квадратурные формулы с переменным шагом
- •6.6. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)
- •7. Численное дифференцирование
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •7.3. Погрешность численного дифференцирования
- •7.4. Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции
- •7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона
- •7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
- •7.5. Метод неопределенных коэффициентов
- •7.6. Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Задача Коши для оду
- •8.3. Численные методы решения задачи Коши
- •8.3.1. Одношаговые методы решения задачи Коши
- •8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши
- •Литература
- •Основы численных методов
- •220013, Минск, п. Бровки, 6
1.5. Задачи теории погрешностей
Прямая задача теории погрешностей. Пусть в некоторой области G n-мерного числового пространства рассматривается непрерывно дифференцируемая функция
y = f(x1, ..., xn).
Пусть в точке (x1, ..., xn), принадлежащей области G, нужно вычислить значение функции. Известны лишь приближенные значения аргументов (а1, ..., аn) G и их погрешности. Очевидно, что это будет приближенное значение
y* = f(а1, а2, ..., аn).
Нужно оценить его абсолютную погрешность:
y* = | y – y* | .
Для функции одного аргумента y = f(x) абсолютная погрешность, вызываемая достаточно малой погрешностью а, оценивается величиной
y* = .
Обратная задача теории погрешностей. Состоит в определении допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Для функции одной переменной y = f(x) абсолютную погрешность можно вычислить приближенно по формуле
.
Для функций нескольких переменных y = f(x1, ..., xn) задача решается при следующих ограничениях.
Если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с той же точностью, что и значение остальных аргументов, то погрешность именно этого аргумента и согласовывают с требуемой погрешностью функции.
Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т. е. учитывают, что все слагаемые
,
равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой
.
1.6. Понятия устойчивости, корректности и сходимости
Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность х, то решение у имеет погрешность у.
Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно зависит от х, т. е. малое приращение исходной величины х приводит к малому приращению искомой величины у. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.
Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.
Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.
Понятие сходимости численного решения вводится для итерационных процессов. По результатам многократного повторения итерационного процесса получают последовательность приближенных значений . Говорят, что эта последовательность сходится к точному решению, если .
Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.
1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов
Погрешность является одним из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.
1. Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода (ЧМ) для решения конкретной технической задачи.
2. Численный метод можно считать удачно выбранным:
– если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;
– если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;
– завышенное снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.
3. Предпочтение отдается методу, который:
– реализуется с помощью меньшего числа действий;
– требует меньшего объема памяти ПК;
– логически является более простым.
Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится находить компромисс между ними.
4. Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.
5. По возможности следует прибегать к существующему программному обеспечению ПК для решения типовых задач.
6. Нужно помнить всегда, что ПК многократно увеличивает некомпетентность исполнителя технической задачи.