- •Содержание
- •Введение Этапы решения технических задач на пк
- •Методы реализации математических моделей
- •1. Элементы теории погрешностей
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Источники погрешностей
- •1.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей
- •1.4. Правила записи приближенных чисел
- •1.5. Задачи теории погрешностей
- •1.6. Понятия устойчивости, корректности и сходимости
- •1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Методы решения слау
- •2.2.1. Прямые методы решения слау
- •2.2.2. Итерационные методы решения слау
- •2.3. Вычисление определителей высоких порядков
- •2.4. Вычисление обратных матриц
- •2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
- •3. Численное решение нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Отделение корней
- •3.2.1. Метод половинного деления
- •3.2.2. Графическое отделение корней
- •3.3. Итерационные методы уточнения корней
- •3.3.1. Метод простой итерации
- •3.3.2. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.3.3. Метод секущих
- •3.3.4. Метод деления отрезка пополам
- •3.3.5. Метод хорд
- •3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений
- •4. Решение систем нелинейных уравнений
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод простой итерации
- •4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка
- •4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций
- •4.3. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными
- •5. Аппроксимация функций
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Интерполирование функций
- •5.3. Типовые виды локальной интерполяции
- •5.3.1. Линейная интерполяция
- •5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция
- •5.4. Типовые виды глобальной интерполяции
- •5.4.1. Интерполяция общего вида
- •5.4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.4.3. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Локальная интерполяция. Рассмотрим два вида локальной интерполяции – линейную и квадратичную.
- •Глобальная интерполяция. Рассмотрим интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
- •5.5. Сплайны
- •5.6. Сглаживание результатов экспериментов
- •5.7. Вычисление многочленов
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Простейшие квадратурные формулы
- •6.2.1. Формула прямоугольников
- •6.2.2. Формула трапеций
- •6.2.3. Формула Симпсона
- •6.3. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом
- •6.3.1. Составная формула прямоугольников (средних)
- •6.3.2. Формула трапеций
- •6.3.3. Формула Симпсона
- •6.4. Выбор шага интегрирования для равномерной сетки
- •6.4.1. Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей
- •6.4.2. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам
- •6.5. Составные квадратурные формулы с переменным шагом
- •6.6. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)
- •7. Численное дифференцирование
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •7.3. Погрешность численного дифференцирования
- •7.4. Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции
- •7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона
- •7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
- •7.5. Метод неопределенных коэффициентов
- •7.6. Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Задача Коши для оду
- •8.3. Численные методы решения задачи Коши
- •8.3.1. Одношаговые методы решения задачи Коши
- •8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши
- •Литература
- •Основы численных методов
- •220013, Минск, п. Бровки, 6
Литература
1. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах : учеб. пособие / Н. В. Копченова, И. А. Марон. – М. : Наука, 1972.
2. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики : учеб. пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон ; под общ. ред. Б. П. Демидовича. – 2-е изд., испр. – М. : Физматгиз, 1963.
3. Турчак, Л. И. Основы численных методов : учеб. пособие для вузов / Л. И. Турчак ; под ред. В. В. Щенникова. – М. : Наука, 1987.
4. Сборник задач по методам вычислений : учеб. пособие / под ред. П. И. Монастырного. – Минск : БГУ, 1983.
5. Боглаев, Ю. П. Вычислительная математика и программирование : учеб. пособие / Ю. П. Боглаев. – М. : Высш. шк., 1990.
6. Синицын, А. К. Алгоритмы вычислительной математики : учеб.-метод. пособие по курсу «Основы алгоритмизации и программирования» / А. К. Cиницын, А. А. Навроцкий. – Минск : БГУИР, 2007.
7. Вычислительные методы высшей математики : учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т. 1 / В. И. Крылов [и др.]. – Минск : Выш. шк., 1972.
8. Вычислительные методы высшей математики : учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т. 2 / В. И. Крылов [и др.]. – М. : Наука, 1977.
9. Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов / В. И. Крылов [и др.]. – Минск : Наука и техника, 1982.
10. Калиткин, Н. Н. Численные методы : учеб. пособие / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.
11. Бахвалов, Н. С. Численные методы : учеб. пособие / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука, 1975.
12. Егоров, А. А. Вычислительные алгоритмы линейной алгебры : учеб. пособие / А. А. Егоров. – Минск : БГУ, 2005.
13. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. – М. : Наука, 1982.
14. Васильков, Ю. В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании / Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова. – М. : Финансы и статистика, 2001.
Учебное издание
Соловьев Владимир Павлович
Кривоносова Татьяна Михайловна
Смирнов Вячеслав Леонидович
Основы численных методов
Учебно-методическое пособие
Редактор Л. А. Шичко
Корректор Е. Н. Батурчик
Компьютерная верстка В. М. Задоля
Подписано в печать ХХ.ХХ.2011. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Times».
Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. Х,ХХ. Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 100 экз. Заказ 394
Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования
«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
ЛИ №02330/0494371 от 16.03.2009. ЛП №02370/0494175 от 03.07.2009.
220013, Минск, п. Бровки, 6