Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники»

В. П. Соловьев, Т. М. Кривоносова, В. Л. Смирнов

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Рекомендовано УМО вузов Республики Беларусь по образованию в области информатики и радиоэлектроники в качестве учебно-методического пособия

для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования

в области информатики и радиоэлектроники

Минск БГУИР 2011

УДК 004.421+519.61

ББК 32.973.26-018.2+22.193я7

С60

Р е ц е н з е н т ы:

заведующий кафедрой управления информационными ресурсами

Академии управления при Президенте Республики Беларусь,

кандидат технических наук, доцент В. И. Новиков;

заведующий кафедрой вычислительной техники

Белорусского государственного аграрного технического университета, кандидат педагогических наук, доцент Н. Г. Cеребрякова

	Соловьев, В. П. Основы численных методов : учеб.-метод. пособие / В. П. Соловьев, Т. М. Кривоносова, В. Л. Смирнов. – Минск : БГУИР, 2011. – 131 с. : ил.
С60

ISBN 978-985-488-501-8.

Содержит теоретические сведения, необходимые для изучения наиболее часто использующихся алгоритмов приближенных вычислений, таких, как нахождение решений систем линейных алгебраических уравнений, вычисление интегралов, нахождение корней нелинейных уравнений и др.

Каждый раздел содержит общую постановку задачи, методы и алгоритмы ее реализации, а также примеры.

УДК 004.421+519.61

ББК 32.973.26-018.2+22.193я7

ISBN 978-985-488-501-8	© Соловьев В. П., Кривоносова Т. М., Смирнов В. Л., 2011
	© УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники», 2011

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 5

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 8

1.2. Источники погрешностей 8

1.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей 10

1.4. Правила записи приближенных чисел 11

1.5. Задачи теории погрешностей 13

1.6. Понятия устойчивости, корректности и сходимости 14

1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов 15

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 16

2.1. Основные понятия и определения 16

2.2. Методы решения СЛАУ 17

2.2.1. Прямые методы решения СЛАУ 18

2.2.2. Итерационные методы решения СЛАУ 33

2.3. Вычисление определителей высоких порядков 42

2.4. Вычисление обратных матриц 43

2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы 45

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 46

3.1. Постановка задачи 46

3.2. Отделение корней 47

3.2.1. Метод половинного деления 47

3.2.2. Графическое отделение корней 48

3.3. Итерационные методы уточнения корней 49

3.3.1. Метод простой итерации 49

3.3.2. Метод Ньютона (метод касательных) 50

3.3.3. Метод секущих 51

3.3.4. Метод деления отрезка пополам 52

3.3.5. Метод хорд 53

3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений 55

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 57

4.1. Постановка задачи 57

4.2. Метод простой итерации 57

4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка 58

4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций 60

4.3. Метод Ньютона для системы двух уравнений 61

4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными 62

5. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 64

5.1. Постановка задачи 64

5.2. Интерполирование функций 65

5.3. Типовые виды локальной интерполяции 66

5.3.1. Линейная интерполяция 66

5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция 68

5.4. Типовые виды глобальной интерполяции 68

5.4.1. Интерполяция общего вида 68

5.4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 69

5.4.3. Интерполяционный многочлен Ньютона 71

5.5. Сплайны 80

5.6. Сглаживание результатов экспериментов 83

5.7. Вычисление многочленов 85

6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 86

6.1. Постановка задачи 86

6.2. Простейшие квадратурные формулы 88

6.2.1. Формула прямоугольников 89

6.2.2. Формула трапеций 90

6.2.3. Формула Симпсона 90

6.3. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом 92

6.3.1. Составная формула прямоугольников (средних) 92

6.3.2. Формула трапеций 93

6.3.3. Формула Симпсона 93

6.4. Выбор шага интегрирования для равномерной сетки 96

6.4.1. Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей 96

6.4.2. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам 97

6.5. Составные квадратурные формулы с переменным шагом 99

6.6. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса) 101

7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 104

7.1. Постановка задачи 104

7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции 104

7.3. Погрешность численного дифференцирования 105

7.4. Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции 107

7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона 107

7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа 110

7.5. Метод неопределенных коэффициентов 112

7.6. Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании 113

8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 116

8.1. Постановка задачи 116

8.2. Задача Коши для ОДУ 118

8.3. Численные методы решения задачи Коши 119

8.3.1. Одношаговые методы решения задачи Коши 120

8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши 126

ЛИТЕРАТУРА 129