5.3. Типовые виды локальной интерполяции

5.3.1. Линейная интерполяция

Линейная интерполяция состоит в том, что заданные точки таблицы (x_i, y_i), ( ) соединяются прямыми линиями и исходная функция f(х) приближается на интервале [а, b] к ломаной с вершинами в узлах интерполяции. В общем случае частичные интервалы [x_i–1, x_i]  [a, b] различны. Для каждого отрезка ломаной можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i–1, y_i–1) и (x_i, y_i). В частности, для i-го интервала в виде

.

Тогда рабочую формулу можно записать как

(5.5)

где , .

Из графической иллюстрации (рис. 5.1) видно, что для реализации (5.5) сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x_T, а затем воспользоваться его границами.

Теоретическая погрешность R(x) = f(x) – F(x)  0 в точках, отличных от узлов:

где М₂ = max , х  [x_i–1, x_i].

Рис. 5.1

Блок-схема такого алгоритма представлена на рис. 5.2.

EMBED Word.Picture.8

Рис. 5.2

5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция

В данном случае в качестве интерполяционного многочлена используется квадратный трехчлен на отрезке [x_i–1, x_i+1]  [а, b] в виде

(5.6)

.

Для определения коэффициентов a_i, b_i, c_i составляется система из трех уравнений согласно условиям (5.3), а именно:

(5.7)

Алгоритм вычисления аналогичен предыдущему, только вместо соотношений (5.5) используется соотношение (5.6) с учетом решения (5.7). Очевидно, что для x_T  [x₀, x_n] используются три ближайшие точки.

Графическая иллюстрация метода представлена на рис. 5.3.

EMBED Word.Picture.8

Рис. 5.3

Теоретическая погрешность вне узлов интерполяции:

R(x) = (x – x₀) (x – x₁) (x – x₂)

5.4. Типовые виды глобальной интерполяции

5.4.1. Интерполяция общего вида

В данном случае интерполяционный многочлен ищется в виде (5.2) для всего интервала области определения x_T, т. е. для [x₀, x_n], в виде

. (5.8)

Для получения коэффициентов a_i используется система уравнений (5.3)

(5.9)

Известно, что если x_i  x_j при i  j система имеет единственное решение. Для решения (5.9) можно использовать методы, рассмотренные ранее для СЛАУ. Прямое решение системы (5.9) и получение F(х) в виде (5.8) выгодно, когда производится много вычислений по одной и той же таблице. Для разового вычисления y = f(x_T) предложены другие алгоритмы, при которых не нужно находить параметры вектора , а интерполяционные многочлены записываются через значения таблиц {x_i, y_i}, . Это интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

5.4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов. Многочлен Лагранжа ищется в виде линейной комбинации из значений f(х) в узлах интерполяции и каких-то специально построенных из системы узлов интерполяции многочленов n-й степени в виде

. (5.10)

Итак, сначала строится вспомогательный многочлен (n + 1)-й степени:

(5.11)

и многочлен n-й степени

. (5.12)

Очевидно, что многочлен (5.11) обращается в ноль в узлах интерполяции x_i, т. е. (x_i) = 0, i = , а многочлен (5.12) _i(x) обращается в ноль во всех узлах, кроме узла x_i, т. е.

(5.13)

Из равенств (5.12) и (5.13) следует, что построенный новый многочлен

принимает нулевое значение во всех узлах, кроме j-го, а в узле x_j его значение будет равно единице, т. е.

.

Тогда j-й многочлен из (5.10) l_j(x_i)y_j будет принимать нулевые значения во всех узлах, кроме x_j, и значение y_j в узле x_j, т. е.

.

Согласно (5.10) составим многочлен

,

где .

В более свернутой форме

. (5.14)

Погрешность (5.14)

, где   [a, b].

В отличие от полинома (5.8) здесь не требуется предварительного определения всех коэффициентов. Однако для каждого x_Т нужно рассчитывать полином Лагранжа по формулам (5.14). Поэтому объем вычислений фактически не меньше, чем при выполнении расчета (5.9).

На практике, если необходим повторный расчет при различных x_Т в большем количестве, то схема (5.8) будет предпочтительнее.

Полином Лагранжа широко используется при реализации других численных методов. Следует подчеркнуть, что при n = 1 – это линейная, а при n = 2 – квадратичная интерполяция.

Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов. Величина h = x_i+1 – x_i = const. Тогда произвольный узел x_i = x₀ + ih, . Введем переменную t = (x – x₀) / h. Тогда

x – x_i = x₀ + th – x₀ – ih = (t – i)h. (5.15)

Подставив разности (5.15) в равенство (5.11), получим

.

Так как

x_j – x_i = (x₀ + jh) – (x₀ + ih) = (j – i)h,

то с учетом (5.15) формула Лагранжа примет вид

, (5.16)

где t = (x – x₀)/h.

Погрешность (5.16)

.