5. Аппроксимация функций

5.1. Постановка задачи

При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f(x).

При этом, как правило, имеют место две ситуации.

1. Явная зависимость между значениями х и y на интервале [a, b] отсутствует, а есть только таблица экспериментальных данных {x_i, y_i}, , поэтому возникает необходимость определения y = f(x) на интервале [x_i, x_i/2]  [a, b]. К этой задаче относится уточнение таблиц экспериментальных данных.

2. Зависимость y = f(x) известна и непрерывна, но настолько сложна, что не пригодна для практических расчетов. Стоит задача упрощения вычисления значений y = f(x) и ее характеристик ( и т. д.). Поэтому с точки зрения экономии времени и материальных ресурсов приходят к необходимости построения функциональной зависимости y = F(x), которая была бы близка к f(x) по основным ее параметрам, но более проста и удобна в реализации при последующих расчетах. То есть ставится задача о приближении (аппроксимации) в области определения функции f(x) функцией F(x). Функцию F(x) называют аппроксимирующей.

Основной подход к решению данной задачи состоит в том, что y = F(x) выбирается зависящей от каких-то свободных параметров эксперимента, т. е. y = F(x) = (x, c₁, c₂, …, c_n) = (x, ). Значения вектора выбираются из условий близости для f(x) и F(x).

B зависимости от способа подбора вектора получают различные виды аппроксимации.

Если приближение строится на каком-то дискретном множестве {x_i}, i = , то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение (метод наименьших квадратов). Если множество {x_i} непрерывно, например в виде отрезка [a, b], аппроксимация называется непрерывной или интегральной (полиномы Чебышева).

В настоящее время на практике хорошо изучена и широко применяется линейная аппроксимация, при которой (x, ) выбирается линейно зависящей от параметров в виде так называемого обобщенного многочлена:

F(x) = (x, ) = c₁₁(x) + c₂₂(x) + … + c_n_n(x) = , (5.1)

где _k(x) – какая-то выбранная линейно независимая система базисных функций, в качестве которых могут быть:

– алгебраическая: 1, x, x², ... , xⁿ, ... ;

– тригонометрическая: 1, sin(x), cos(x), …, sin(nx), cos(nx), …;

– экспоненциальная: e^0x, e^1x, …, e^nx, …; где {_i} – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.

Важно, чтобы эта система была полной, т. е. обеспечивающей аппроксимацию посредством (5.1) с заданной точностью на всех интервалах [а, b] определения y = f(x).

Для решения большинства практических задач наиболее удобна первая из них (алгебраическая система), представляющая собой в итоге обычные алгебраические многочлены.

5.2. Интерполирование функций

Интерполирование по определению предполагает нахождение промежуточных значений величины, заданной таблицей или графиком, по некоторым ее значениям. Относительно функциональных зависимостей интерполирование является одним из основных видов точечной аппроксимации. Суть интерполирования в данном случае заключается в следующем.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b], на котором должна быть обеспечена близость f(х) и (х). На данном отрезке выбирается система точек, называемых узлами, по правилу

a  x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n  b.

Их число равно количеству параметров в (5.1).

Известны значения функции f(х) в этих узлах, т. е.

y_i = f(x_i),

Задача интерполирования согласно (5.1) сводится к подбору многочлена следующего вида:

(5.2)

с действительными коэффициентами с_k, найденными по правилу

, (5.3)

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом.

Процедуру (5.2) с использованием условий (5.3) называют глобальной интерполяцией. Если же многочлен (5.2) строится только для отдельных участков отрезка [а, b] (области определения f(х)), т. е. для m интерполяционных узлов, где m < n, то интерполяцию называют локальной.

Матрица системы (5.3) и ее определитель имеют следующий вид:

|G|  0, (5.4)

так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (5.3) имеет единственное решение, т. е. коэффициенты многочлена (5.2) находятся однозначно.

Заметим, что условие (5.3) обеспечивает близость функций f(х) и F(х) по любой технологии ее получения, т. е. в узлах интерполяции их значения совпадают.

Если (5.2) и (5.3) используются для вычисления значений функции в случае x < x₀ и x > x_n, такое приближение называется экстраполяцией.