4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций
Рассмотрим вариант построения итерирующих функций вида (4.4) для системы (4.3) с соблюдением условий (4.6). Запишем их в следующем виде:
1(х, у) = x + F1(x, y) + F2(x, y);
2(х, у) = y + F1(x, y) + F2(x, y).
При этом должно выполняться
.
Коэффициенты , ,
,
находятся из решения следующей системы
линейных уравнений, которая составлена
по требованиям (4.6а):
(4.7)
При таком подборе параметров условие (4.6а) будет соблюдено, если частные производные функций F1 и F2 изменяются не очень быстро в окрестности точки (x0, y0).
Пример 4.2. Решить нелинейную систему второго порядка:
при х0 = 0,8 и у0 = 0,55.
Итерирующие функции будем искать в виде
Для составления системы (4.7) предварительно определим ее компоненты для значений x0 = 0,8 и y0 = 0,55:
;
; 
;
;
;
; 
;
–1.
Тогда система (4.7) будет иметь вид
1
+ 1,6 + 1,92
= 0; = –0,3;
1,1 – = 0; = –0,5; – ее решение.
1,6 + 1,92 = 0; = –0,3;
1 + 1,1 – = 0; = 0,4;
Следовательно, итерирующие функции имеют вид
по (4.5) строим итерационный процесс.
4.3. Метод Ньютона для системы двух уравнений
Пусть дана система
Согласно методу Ньютона последовательные приближения вида (4.5) вычисляются по формулам
; 
, (4.8)
где
;
;
n = 0, 1, 2, ... .
Если якобиан
0,
то решение будет единственным.
Начальные значения x0 и y0 определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.
Пример 4.3. Найти решение системы
Графическим путем можно найти приближенно x0 = 1,2 и y0 = 1,7.
Вычислим значение якобиана
в начальной точке (x0,
y0 ):
= 97,910.
Далее по формулам (4.8) получаем:
= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;
= 1,7 – 0,0390 = 1,6610.
Продолжив процесс вычисления при x1 и y1, получим x2 = 1,2343; y2 = 1,6615 и т. д. до достижения желаемой точности.
4.4. Метод Ньютона для систем n-го порядка с n неизвестными
Для метода Ньютона функции Fi = (x1, x2, ..., xn) из (4.1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго порядка и выше.
Пусть известен результат предварительной итерации: при решении (4.1) дает результат для = (a1, a2, ..., an).
Задача сводится к нахождению поправок этого решения: x1, x2, ..., xn.
Тогда при очередной итерации решение будет следующим:
x1 = a1 + x1; x2 = a2 + x2; …, xn = an + xn. (4.9)
Для нахождения xi разложим Fi (x1, x2, ..., xn) в ряд Тейлора:
(4.10)
Приравняем правые части согласно (4.1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно xi:
(4.11)
Значения F1, F2, …, Fn и их производных вычисляются при x1 = a1, x2 = a2, ..., xn = an. Расчет ведется с учетом (4.9) по (4.10) и (4.11). Процесс прекращается, когда max|xi| < . При этом будет иметь место единственное решение системы, если якобиан
.
По сходимости этот метод выше метода простой итерации.