106. Дать понятие степени устойчивости импульсной сау?

Импульсная автоматическая система устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое огра­ниченное внешнее воздействие ограничена. Если же реакция импульсной системы хотя бы на одно ограниченное внешнее воздействие не ограничена, то такая система неустойчива.

Воспользуемся этим определением устойчивости для установ­ления условий устойчивости. Для этой цели рассмотрим уравне­ние импульсной системы

Импульсная система будет устойчива, если ряд, стоящий в пра­вой части неравенства, сходится, т. е. Если

Таким образом, импульсная система устойчива, если ряд дискрет времен­ной характеристики абсолютно сходится.

107. Дайте определение z-передаточной функции?

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:

которое называется Z-преобразованием при подстановке , и связывает изображение с оригиналом.

Z-преобразования (изображения) типовых решетчатых функций и типовых непрерывных передаточных функций сведены в таблицы. Определены правила и теоремы для математических манипуляций с ними.

108. Каковы особенности исследования устойчивости в классе импульсных систем на основе прямых методов?

При исследовании импульсных систем вместо р используется новая переменная .

Запишем характеристический многочлен в раскрытой форме:

G*(p)=a₀ eP^nT+a₁e^P(n-1)T+ ... + а_n. (8)

Импульсная система будет устойчива, если ее основные нули P1, P2 … Рп будут левыми, т. е. будут расположены в левой полуполосе Re p < 0 (-W₀/2 < Im p W₀/2 ) комплексной пло­скости р т. е. Re p_v<0, v=l, 2. ..., п. (9)

Произведем замену переменных в (8):

е^pT = u и, p= ln(u). (10)

Тогда характеристический многочлен (8) запишется в виде

G*(1/T * lnu)=G*₁(u)=a₀uⁿ+a₁u^n-1+ ... + a_n. (11)

Рис. 1. Корневой годограф устойчивой импульсной системы

Замена переменных (10) преобразует отрезок (-W₀/2 < Im p W₀/2 ) мнимой оси Re p=0 (рис.1, а) плоскости р в единичную окружность u=e^iwT на плоскости (рис. 1,б). Левая полуполоса Re p < 0 (-W₀/2 < Im p W₀/2 ) (рис.1, а) пло­скости р преобразуется во внутренность круга и=e^pT(Re p<0) плоскости и (рис. 1,б), а правая полуполоса Re p > О (-W₀/2 < Im p W₀/2 ) плоскости р (рис. 1, а) —во внешнюю часть круга u = e^pT (Re р > 0) плоскости и (рис. 1,б). И значит, импульсная система будет устойчива, если все нули характеристического многочлена G*₁(u) (11) будут располо­жены внутри единичной окружности, или если все нули u₁=e^p1T, ..., u_n=e^{pn^T} будут внутренними, т. е.|u_v|< 1, v=l, 2, .... п.

109. Чем отличается описание импульсного фильтра в терминах дискретной и z-передаточной функций?

Знание приведенной решетчатой весовой функции позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину произвольного вида — . Рассмотрим реакции на отдельные значения входной величины в дискретные моменты времени:

• на

• на

• на

Следовательно реакция на всю входную последовательность будет равна:

;

Здесь первоначально изменен порядок суммирования (свертка), а затем учли запаздывание оператором запаздывания . Если устремить n к бесконечности, то, очевидно, что сомножитель для есть дискретная передаточная функция:

.

И поскольку она является Z-преобразованием приведенной решетчатой весовой функции, то ее можно представить как Z-преобразование от обратного преобразования Лапласа приведенной передаточной функции экстраполятора и непрерывной части:

.

Часто для краткости записи знак операции опускают записывая:

.

110. Как называется уравнение, которое определяет соотношение между решетчатой функцией и ее разностями различных порядков?

Утверждено на заседании кафедры " " " 2009г.

Зав. каф. АТМ. /А.А Фомичев/