31. Спектральные характеристики непериодического сигнала. Прямое и обратное преобразования Фурье.

Изобразим периодический сигнал x(t). Оставим неизменной функцию в интервале τ, а период T0 устремим в бесконечность T0→∞. Получим ω0=2π/T0→0, Ак→0. При этом расстояние между составляющими спектра становится бесконечно малым, бесконечно малой становится и амплитуда каждой гармоники. Понятие «амплитудный спектр» заменяется понятием «спектральная плотность амплитуд» S (х) с размерно-

стью амплитуды на единицу частоты В/рад, или S(f) В/Гц.

В отличие от спектра периодических колебаний, спектр которых является дискретным, спектр непериодических колебаний – сплошной.

Между непериодическим сигналом x(t) и его спектром S( ω) существует

связь в виде преобразований Фурье:

S(ω) называется также комплексной спектральной функцией, эта функция четная, убывающая с ростом частоты.

- Прямое преобразование Фурье (спектральная плотность мощности).

Физический смысл спектральной плотности мощности – комплексная функция частоты одновременно является несущей информацию об амплитуде и фазе элементарных синусоид.

х(t) = - Обратное преобразование Фурье. По нему можно восстановить временной сигнал.

32. Оценивание спектральной плотности с помощью дпф

ДПФ является комплексной последовательностью , каждый отсчет которой в общем случае состоит из вещественной и мнимой компонент:

, (5.22)

и может быть представлен в полярной форме как

,

где  модуль ,  фазовый угол. На практике фазовый угол представляет интерес для узкого класса задач, поэтому в основном анализ ведется по отсчетам модуля . Квадрат модуля ДПФ как функция частоты используется для оценки истинной спектральной плотности процесса, реализацией которого является сигнал :

, , (5.23)

где ,  опорные частоты ДПФ, определяемые формулой (5.12). Заметим, что специалисты-практики спектром часто называют именно эту действительную функцию частоты.

Можно показать, что если ДПФ вычисляется по формуле (5.23), то сумма отсчетов плотности по индексам приблизительно равна выборочной дисперсии временного ряда , т. е.

. (5.24)

Нормированная спектральная плотность вычисляется по одной из формул:

, (5.25 а)

, (5.25 б)

.

В большинстве практических задач анализу подвергаются действительные сигналы , ДПФ которых обладает комплексно-сопряженной симметрией, согласно формуле (5.16). Следовательно, для действительного сигнала значения спектральной плотности симметричны относительно точки :

.

Поэтому имеет смысл определять отсчеты спектральной плотности действительного ряда только для индексов .

33. Дискретное преобразование Фурье (дпф). Гармонический анализ.

Предположим, что непрерывная реализация представлена N эквидистантными значениями с интервалом дискретизации . Поскольку при рассмотрении финитного преобразования Фурье мы задавали интервал определения как , моменты удобно индексировать, начиная с . Тогда последовательность отсчетов запишется в виде , .

Дискретная аппроксимация интеграла (по методу прямоугольников) в формуле при произвольном значении f есть

. (5.11)

Для расчета спектра выбираем дискретные значения частоты

, . (5.12)

Формула (5.11) дает на этих частотах следующие составляющие Фурье

, , (5.13)

причем интервал внесен в значение , чтобы избавиться от множителя перед знаком суммы. Подставив в соотношение (5.13) выражение для из (4.12), получим формулу для дискретного преобразования Фурье

, . (5.14)

Внимание, это важно! Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяется для оценивания спектра, задаваемого соотношением (5.1). Частоты, определяемые соотношением (5.12), (точки на оси частот) называются опорными частотами ДПФ, а промежутки (интервалы частотной оси) между последовательными частотами ДПФ – бинами ДПФ. Формула (4.14) часто записывается в виде

,

где ДПФ{}  оператор ДПФ.

Свойства ДПФ.

1. Последовательность периодически повторяется через N значений:

, где . (5.15)

2. ДПФ действительных временных рядов обладает свойством комплексной симметрии, которое записывается в виде

, .

Учитывая (5.15), последнее соотношение можно представить как

, , (5.16)

другими словами, частоты выше можно рассматривать (теоретически) как отрицательные.

3. Значение для действительных последовательностей равно

, (5.17)

, (5.18)

где  выборочное среднее величин .

4. Свойство линейности ДПФ формулируется аналогично (5.5), т. е.

,

где a и b  постоянные коэффициенты, и  два разных сигнала одина

ковой длины.

. (5.5)

Гармонический анализ.Под гармоническим анализом понимают практическое нахождение спектральных характеристик сигнала( Есть сигнал надо найти его спектр). Нахождение коэффициентов Фурье и построение спектров.

x(t)= - Тригонометрическая формула , -комплексная форма,

- Прямое преобразование Фурье (спектральная плотность мощности).

х(t) = - О обратное преобразование Фурье.

a_k = ,

когда мы находим вторую гармонику берем i=2