26. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.

Два сигнала U(t) и V(t) называются ортогональными на промежутке [0,Т] если

.

Пусть мы имеем систему ортогональных функций {U₁ ,U₂ ,U₃, …,U_n}

Функции называются ортогональными если

, m≠n

Пусть имеем систему попарно ортогональных функций и функцию x(t) € [0,T]. Запишем ряд Фурье по этой системе функций.

(1) x(t) = - ряд Фурье по выбранной системе произвольно ортогональной системе функций (базису).

Выразим неизвестные коэффициенты C_i через известную функцию x(t). Возьмем произвольную функцию с номером k. Умножим левую и правую части (1) на функцию U_k(t) и проинтегрируем:

В следствие попарной ортогональности функций системы получим:

C_k => C_k = - Формула коэффициентов Фурье по ортогональной системе функций.

- норма функций на отрезке [0,T] => C_k =

27. Ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций.

28. Разложение периодических функций в ряд Фурье. Спектр амплитуд и спектр фаз.

Р-яд Фурье произвольной периодической функции любого аргумента:

f(x)=

Коэффициент с номером 0 обозначим

a_k = коэффициенты при косинусах

b_k = коэффициенты при синусах

a_k =

b_k =

, w₁ =

Множество коэффициентов Фурье – спектр

A_k =

x(t)= - Ряд Фурье в тригонометрической форме

29. Ряд Фурье в комплексной форме. Спектр фаз и спектр амплитуд.

30. Спектр мощности сигнала. Практическая ширина спектра. Равенство Парсеваля.

Условия приема зависит от соотношения мощности сигнала и мощности помехи, т к мощности сигнала расходуется на детектирование сигнала. Устойчивый прием возможен если соотношение РС/РП велико

- мгновенная энергия, где u(t) – напряжение, i(t) – сила тока.

- Энергетический спектр.

P=1/T* - Средняя мощность

Р= переодический сигнал характеризуется мощностными характеристиками, непериодическими – энергетическими.

Энергетические характеристики сигнала

x(t)= тригонометрическая форма записи сигнала.

- Ряд Фурье в комплексной форме

- мощность из частотного представления сигнала

- мощность в комплексном представлении сигнала

Спектр мощности – показывает какую мощность несет каждая гармоника в сигнале.

Спектральная плотность мощности – это та мощность, которую несут частоты в окрестности частоты.

p= =1/2П*

Мощность из частотного представления (2-ой интеграл) из временного представления(1-ый интеграл).

Равенство Парсеваля

- Равенство Парсеваля

Связывает временные характеристики, найденные из временного и частотного представления сигнала.

Практическая ширина спектра.

На практике передаваемые по каналу не могут быть переданы с очень высокими частотами т.к. реальные системы имеют ограниченную частоту пропускания( частота среза, ограниченная частотная характеристика).

Обычно используют два критерия для выбора высшей частоты спектра.

1. Критерий, в основе которого лежит выбор частоты, которая обеспечивает передачу сигнала заданной мощности. Каждая гармоника несет свою долю мощности. Вся мощность сигнала:

=> число; => функция

λ =

2. Критерий основанный на соображениях формы сигналов. Важно не сохранение мощности сигнала, а его форма.