17 .Пространство затрат. Производственная функция

Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q = (q₁, q₂,…, q_n)^T вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производства. Обозначим через X=(x₁,x₂,…,x_n)^T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.

Множество векторов выпуска продукции образуют, так называемое пространство выпуска

Множество векторов затрат факторов производства образуют так называемое пространство затрат

Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции

. Функция, q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах факторов производства, называется производственной функцией фирмы.

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме

F(x,q,A) = 0 ,где Aпредставляет собой технологическую матрицу размерами nxm.

Производственная функцию можно интерпретировать двояко

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска.

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат.

В дальнейшем, для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.

С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.

Предельным продуктом i-го фактора производства ( MP_i- marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска продукции, который будет получен при увеличении потребления каждой дополнительной единицы данного фактора производства

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. C увеличением потребления какого либо фактора производства выпуск продукции возрастает:

2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:

3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов, т.е. если объем потребления всех факторов производства увеличится в одинаковых пропорциях , то выпуск продукции не должен упасть:

,

где представляет собой степень однородности.

Рассмотрим основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (ПФ Кобба-Дугласа):

Здесь величины a₁,a₂,…,a_m представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, А - масштабирующий множитель или коэффициент отдачи от масштаба.

Чтобы учесть технологический прогресс функция Кобба-Дугласа записывается следующим образом.

f(x₁, x₂,…, x_m) = Ae^vt

t – время, v – константа характеризующая темп технологического прогресса

2. Производственная функция “затраты-выпуск” (функция Леонтьева):

Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a₁,a₂,…,a_m представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

3. Линейная производственная функция:

Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a₁,a₂,…,a_m представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.