35. Законы Вальраса.

Рассмотрим уравнения первого порядка для нахождения общего рыночного равновесия. Из определения рыночного равновесия следует, что общая сумма спроса на любой товар или фактор должна быть равна сумме предложения этого товара или фактора. Следовательно имеем следующие n уравнений:

Равновесие на рынках факторов производства дает нам следующие m уравнений:

Условие равновесия дает нам m + n уравнений.

Рассмотрим бюджетные ограничения потребителей:

Просуммируем их по всем потребителям:

(сумма s_i уходит к единице)

Первый закон Вальраса: в условиях рыночного равновесия общий доход потребителей вместе с общей прибылью всех фирм должен равняться общей стоимости товаров

Воспользуемся определением прибыли фирм. Получаем:

Сгруппировав выражения, мы имеем: (группируй сам слева у и х, а справа h и q)

В левой части стоит стоимость избыточного (неудовлетворенного) спроса на факторы производства (со знаком "-"), в правой части – стоимость избыточного спроса на товары.

Второй закон Вальраса: совокупная стоимость избыточного спроса на факторы производства равна совокупной стоимости избыточного спроса на товары.

36. Статическая модель Леонтьева.

Предположим, что вся экономика состоит из n отраслей, каждая из которых производит свой вид продукции. x_i - это общий выпуск i-й отрасли.

Предполагается, что определенная доля выпуска каждой отрасли расходуется, во-первых, в непроизводственной сфере, а, во-вторых, используется в качестве ресурсов производства в других отраслях экономики.

c_i – объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере,

a_ij - доля выпуска i-й отрасли потребляемая j-й отраслью.

Из условия рыночного равновесия следует, что спрос на продукцию отрасли должен равняться предложению отрасли. Таким образом, мы имеем следующие n уравнений:

Здесь левая часть отражает выпуск, а правая – затраты и конечный спрос.

Перейдём к векторно-матричным обозначениям.

X = (x₁,…,x_n)^T – вектор выпуска, C = (с₁,…,с_n)^T – вектор потребления в непроизводственной сфере, А = [a_ij] – технологическая матрица прямых затрат.

Тогда условие равновесия примет вид:

X = AX + C.

Данную систему уравнений называют системой уравнений Леонтьева (статической моделью экономики Леонтьева. При этом следует учитывать, что вектор выпуска и вектор потребления продукции С должны быть неотрицательными величинами.

Предположим, что у нас заданно технологическая матрица и потребление продукции в непроизводственной сфере, тогда:

X – AX = C

(I - A)X = C, I – единичная матрица

Х = (I - A)^-1C

Если для любого неотрицательного объема потребления в непроизводственной сфере соответствует неотрицательное значение вектора выпуска Х, то в этом случае говорят о том, что модель Леонтьева является продуктивной.

37. Продуктивность модели Леонтьева

Пусть имеется матрица Y_nxn . Говорят, что матрица Y является неотрицательно определенной Y≥0 в том случае когда для любого ненулевого вектора z соответствующей размерности z ≠ 0 выполняется следующее соотношение z^TYz ≥ 0

Число λ – собственное число матрицы Y_nxn, если оно удовлетворяет следующим соотношениям det(Y-Iλ) = 0.

Модель Леонтьева является продуктивной в том случае, когда выполняется хотя бы 1 из следующих условий:

1. Матрица (I-A)^-1 ≥ 0 – является неотрицательно определенной

2. Бесконечный матричный ряд I+A+A²+….=(I-A)^-1 сходится и равняется (I-A)^-1

3. Наибольшее собственное значение матрицы А по модулю < 1 │λ_max│< 1

Следовательно из условий матрица А является продуктивной, а следовательно и модель Леонтьева является продуктивной.