10. Аналитическое решение задачи потребительского выбора

В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа:

дописать лямда

и найдем ее точки максимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:

Имеем

Отсюда мы получаем условия первого порядка решения задачи потребительского выбора:

т.к. MU_i/p_i = лямда то это действительно для любых товаров и является 1-й и той же величиной.

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя. Мы видим, что в точке решения задачи потребителя отношение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с отношением цен этих товаров.

Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Маршалла:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.

11. Модель Стоуна

Ранее предполагалось, что потребитель свободен в выборе количества потребляемых единиц того или иного товара. Усложним нашу модель. Будем предполагать, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае, и вопрос относительно их приобретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответствии со своими предпочтениями.

Обозначим через b₁, b₂, …, b_n минимальные количества единиц соответствующих видов товара необходимые потребителю. При этом предполагается, что минимальная потребительская корзина не превышает дохода потребителя, т. е. .

Также, без умаления общности, будем предполагать, что предпочтения потребителя относительно дополнительных единиц товаров описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

Задача потребительского выбора принимает следующий вид:

Задачу потребительского выбора в данной постановке называют моделью Стоуна. Решим данную задачу. Т.к. предполагается, что минимальная потребительская корзина всегда меньше дохода потребителя, то модель Стоуна можно переписать следующим образом:

Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования. Составим функцию Лагранжа:

дописать лямбда

Условия первого порядка принимают вид:

дописать a_i

Просуммируем первые уравнений. Получаем:

a_i – переходит в 1

Получаем чему равно Лямбда

Подставив полученное выражение в условия первого порядка, получаем следующие функции спроса Маршалла:

Можно дать следующую интерпретацию полученному решению задачи потребительского выбора в условиях модели Стоуна: сначала приобретается минимально необходимое количество b₁, b₂, …, b_n единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различными видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами а₁, а₂, …, а_n и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара которое необходимо приобрести потребителю.