12. Двойственная задача потребительского выбора

Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Теперь потребитель выбрал уровень полезности u* который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.

В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора). Графически эту задачу можно проиллюстрировать следующим образом:

На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности u* отыскивается набор товаров с минимальной стоимостью.

Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

Данная задача является задачей нелинейного программирования. Функция Лагранжа имеет вид:

дописать Лямбда

Запишем условия первого порядка:

Отсюда мы получаем условия первого порядка для решения двойственной задачи потребительского выбора.

т.к. лямбда это постоянное число

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя в двойственной постановке.

Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и выбранного потребителем уровня полезности.

13. Эластичность функции

Производная функции f(x) по аргументу x называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, в случае, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Точно также как и производная функции, эластичность функции позволяет определить скорость роста функции в данной точке, но при этом значение эластичности не зависит от выбора единиц измерения как функции, так и ее аргументов (что важно для решения экономических задач)

Эластичность функции f(x) по аргументу х (обозначается ) называют придел отношения относительного приращения функции в данной точке к относительному приращению аргумента в том случае когда относительное приращение аргумента стремится к нулю.

где Mf = f’(x) - предельное значение функции в данной точке, Af = f(x)/x - среднее значение функции в данной точке.

Эластичность позволяет нам оценить на сколько процентов изменит свое значение функция при изменении значения аргумента на один процент.

Рассмотрим основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции представляет собой безразмерную величину (это непосредственно следует из определения).

2. Эластичности двух взаимно обратных функций представляют собой обратные величины.

f(x), обратные, если f( )=x.

Доказательство:

3. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и g(x). Тогда:

4. Эластичность частного двух функций равна эластичности числителя минус эластичность знаменателя. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и g(x). Тогда:

5. Эластичность суммы двух функций вычисляется по формуле:

Пример

Определим эластичность функции Из свойства 4 следует что эластичность нашей функции будет равна разности эластичностей числителя и знаменателя. Обозначим f(x)=xⁿ и g(x) = e^x. Имеем:

, .

В итоге, получаем: