33. Паутинообразная модель

Рассмотрим модель перехода рынка в состояние равновесия. Предполагается, что рынок описывается с помощью кривых спроса и предложения товара.

Кривая предложения S(p) представляет собой зависимость предложения товара от его текущей рыночной цены p. Очевидно, что зависимость является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. . Кривая спроса D(p) представляет собой зависимость спроса на товар от его текущей рыночной цены p. Очевидно, что зависимость является невозрастающей функцией своего аргумента, т.е.

Для простоты выводов будем предполагать, что функции спроса и предложения являются линейными, т. е.:

Найдем равновесную рыночную цену: p*.

Рассмотрим каким образом осуществляется переход рынка в равновесное состояние. Рассмотрим развитие процесса во времени. Пусть время t измеряется дискретно и временной лаг равен 1, т.е. t = 0, 1, 2, … Будем считать, что длина временного лага равна длительности цикла производства продукции. В момент времени t потребляется та продукция которая была произведена в момент времени t -1. В момент времени t осуществляется выпуск продукции на основании той рыночной цены, которая была установлена в момент времени t – 1. В силу этого динамика рынка будет описываться следующим соотношением. D(p_t) = S(p_t-1) => c – dp_t = a + bp_t-1, тогда равновесная цена в момент времени t будет равна:

Мы получили рекуррентное соотношение которое записывает динамику рыночной цены продукции. Подставляя в это выражение аналогичные выражения для p_t-1, p_t-2, … в итоге получаем

Выражение, стоящее в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию. a = 1, q = -b/d, k = t

Имеем:

p_t = =

=

Дальнейшие сценарии развития событий зависят от конкретных значений параметров рынка. Возможны следующие ситуации:

1. Стабилизация рынка.

, т.е. наклон кривой спроса к положительному направлению оси абсцисс круче, чем наклон кривой предложения. В этом случае и система со временем осуществит переход в точку рыночного равновесия. Изобразим процесс перехода рынка в равновесное состояние на графике:

2. Рынок будет испытывать циклы роста и спада производства.

,т.е. наклон кривой спроса равен наклону кривой предложения. В этом случае . В этом случае рыночная цена будет совершать колебания равной амплитуды вокруг точки рыночного равновесия. Эти колебания являются прообразом экономических циклов роста и спада производства.

3. Дестабилизация рынка.

, т.е. наклон кривой спроса к положительному направлению оси абсцисс меньше, чем наклон кривой предложения. В этом случае и амплитуда колебаний рыночной цены вокруг точки равновесия будет возрастать, что в конечном итоге приведет к дестабилизации рынка.

34.Модель общего равновесия Вальраса. Вывод условий первого порядка.

Рассмотрим экономику, в которой производится n видов продукции с помощью m факторов производства. Обозначим через p = (p₁,…,p_n)^T – вектор цен выпуска, w = (w₁,…,w_n)^T – вектор цен факторов производства. Будем предполагать, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции.

Будем предполагать, что на рынке присутствует k фирм, каждая из которых способна выпускать любой из видов продукции, осуществляя затраты факторов производства. Обозначим через q⁽ⁱ⁾=(q₁⁽ⁱ⁾,….,q_n⁽ⁱ⁾)^T вектор выпуска продукции i-й фирмой, через x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾,….,x_m⁽ⁱ⁾)^T вектор затрат факторов производства i-й фирмы.

Производственную функцию фирм запишем в неявном виде:

( в х коэффициент m)

Как и раньше будем предполагать, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом собственной технологии производства. Тогда задачи фирм будут выглядеть следующим образом:

(вместо с пишем w, и можно сократить q^(i)T и x^(i)T)

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

(в лямбда в скобках i-ые элементы и лямбда, вместо с пишем w, и сворачиваем Ф в скобках до векторов )

Условия первого порядка будут иметь следующий вид:

(w имеет транспонировки знак)

Каждая система содержит n + m + 1 уравнение с n + m + 1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждой из k фирм, то имеем (n+m+1)k уравнений для решения задачи общего равновесия.

Кроме этого, в экономике имеется l потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором производства, который он может продать на рынке ресурсов и получить доход. Кроме того, предполагается, что потребитель получает определенную долю прибыли каждой фирмы. Обозначим через h⁽ⁱ⁾=(h₁⁽ⁱ⁾,….,h_n⁽ⁱ⁾)^T набор товаров, приобретаемый i-м потребителем, через y⁽ⁱ⁾=(y₁⁽ⁱ⁾,….,y_m⁽ⁱ⁾)^T набор факторов производства, находящийся в распоряжении i-го потребителя, через s⁽ⁱ⁾=(s₁⁽ⁱ⁾,….,s_k⁽ⁱ⁾)^T - вектор долей участия i-го потребителя в прибылях фирм.

Тогда функция полезности i-го потребителя имеет вид:

(знаки Т)

Бюджетное ограничение потребителей принимает вид:

где - вектор прибыли фирм.

Задачи потребителей принимают вид:

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

где – множитель Лагранжа для -го потребителя.

Условия первого порядка будут иметь следующий вид:

Каждая система содержит n + m + 1 уравнение с n + m + 1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждого из l потребителей, то имеем (n+m+1)l уравнений для решения задачи общего равновесия.