29 Равновесие Штакельберга

В нашем случае, первый игрок, что его конкурент взаимодействует с ним согласно модели Курно в данной модели называется S-стратегом (лидером), а второй, предполагающий отсутствие какой-либо реакции конкурента, является К-стратегом (последователем).

Определим оптимальные выпуски обоих дуополистов:

Прибыли фирм определялись соотношениями:

С учетом предположительных вариаций, необходимые условия максимума прибыли следующие:

(стремление к -1/2 и к 0)

.

Вычтем из первого уравнения второе получим: -bq₁/2 + bq₂ = 0 => q₁ = 2q₂

Определим каким образом выпуск каждого из дуополистов будет зависеть от выпуска его конкурентов:

Вычислим оптимальные объемы выпуска:

.

Найдем установившуюся рыночную цену:

Тройка чисел называется равновесием по Штакельбергу.

Определим какую прибыль при данной цене получит лидер, а какую последователь:

Прибыль лидера:

Прибыль последователя:

Догадка 1-го игрока о том, что его конкурент взаимодействует с ним по Курно обеспечивает ему ≈ в 2 раза большую прибыль, а в долгосрочном периоде ровно в 2 раза.

30. Неравновесие Штакельберга

Предположим, что второй игрок тоже догадался со временем, что конкурент взаимодействует с ним по модели Курно, т.е. второй игрок тоже стал S-стратегом. Предположительные вариации в этом случае

Условие первого порядка тогда будет выглядеть следующим образом:

(стремление к -1/2 )

=>

Вычтем из первого уравнения второе получим: -bq₁/2 + bq₂/2 = 0 => q₁ = q₂

Следовательно оптимальные ответы на выпуски конкурентов равны.

А оптимальные выпуски дуополистов составляют:

Найдем установившуюся рыночную цену:

Тройка чисел называется неравновесием по Штакельбергу.

Определим прибыль которую получит каждый из дуополистов в точке неравновесия Штакельберга

В точке неравновесия Штакельберга прибыли обоих дуополистов будут одинаковы и равны

В этой модели оба игрока получают практически в 2 раза меньшую прибыль чем, при дуополии Курно. Следовательно подобные рассуждения обоими игроками будут отвергнуты, поэтому данная ситуация была названа неравновесие по Штакельбергу

31. Картель

Составим таблицу, в которой отобразим выигрыш (прибыль) каждого из игроков в зависимости от его собственной модели поведения и от стратегии конкурента:

Мы видим, что в том случае, когда обе фирмы планируют свой выпуск согласно модели Курно они получают значительно больший выигрыш, чем во всех остальных моделях конкуренции. Но тут возникает следующая проблема: если один из игроков решит стать S- стратегом, а другой продолжит действовать как K-стратег, то лидер получит в два раза большую прибыль, чем последователь и, следовательно, для обоих конкурентов будет безопаснее оказаться в ситуации неравновесия по Штакельбергу, обрекая себя на заведомо меньшую прибыль.

В теории игр подобная задача получила название дилеммы заключенного (prisoner dilemma – англ.).

Отсутствие обмена информацией мешает обоим дуополистам в получении максимально возможной прибыли. Поэтому им целесообразно вступить в переговоры и договориться о действиях, которые бы максимизировали прибыль всей отрасли, т. е. создать картель.

Предположим, что производители договорились о равном разделе полученной картелем прибыли. Тогда предложение продукции отраслью q = q₁ + q₂ и установившаяся рыночная цена p = a – bq Издержки картеля будут равны сумме издержек производителей и составят величину q₁ = q₂ = q/2 C(q) = 2c + dq

Задача картеля формулируется следующим образом:

Необходимое условие экстремума:

Отсюда получаем, что оптимальное предложение отрасли составит соответственно выпуски фирм При этом установившаяся рыночная цена составит , а прибыли дуополистов будут равны:

т. е. они будут практически такими же, как и в точке равновесия Курно.

К сожалению картель представляет собой неустойчивое образование, поскольку у каждого из конкурентов есть соблазн увеличить свой выпуск, при этом получить добавочную прибыль.