7. Задача потребительского выбора. Бюджетное множество и бюджетная линия. Математическая постановка.

Предположим, что у потребителя имеется некий доход размером I, который он собирается потратить на приобретение набора товаров. Через - цены единиц соответствующих видов товаров, P=(p₁,p₂,…,p_n)^T- вектор цен товаров. В этом случае, стоимость набора товаров х = (x₁,…, x_n)^T , приобретаемого потребителем будет равна:

Каждому потребителю доступны лишь те наборы товаров, чья стоимость не превышает дохода потребителя, т.е. Множество наборов товаров удовлетворяющих данному условию образуют бюджетное множество потребителя. Бюджетным множеством потребителя называется множество наборов товаров:

, где I – доход потребителя

Те наборы товаров, чья стоимость в точности соответствует доходу потребителя, образуют бюджетную линию. Бюджетной линией потребителя называется множество наборов товаров

, где I – доход потребителя

В качестве примера рассмотрим случай, когда в распоряжении потребителя имеются два вида товара. Введем следующие обозначения:

х₁- количество единиц первого товара, х₂- количество единиц второго товара,

I – доход потребителя; р₁ – цена 1-го товара; р₁ – цена 2-го товара;

х = (x₁,…, x_n)^T - потребительский набор, P=(p₁,p₂,…,p_n)^T - вектор цен.

В этом случае, бюджетной линия будет представлять собой прямую, удовлетворяющую уравнению или . Бюджетным множеством потребителя будет часть первой четверти координатной плоскости (х₁,х₂), которая лежит ниже бюджетной линии:

Задача потребительского выбора формулируется следующим образом:

Cреди множества наборов товаров, доступных потребителю, потребитель стремится выбрать тот, который обеспечит ему наибольший уровень полезности.

Математическая формулировка задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

s.t. – subject to – с учетом ограничений

8. Свойства решения задачи потребительского выбора.

Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать следующими свойствами:

1. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя. К монотонным преобразованиям относятся: умножение ФП потребителя на положительное число, логарифмирование по основанию больше единицы, возведение в положительную степень.

U(x)>U(y) => f(U(x))>f(U(y)) ; U(x)=U(y) => f(U(x))=f(U(y))

2. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя, поскольку цены товаров и размер дохода не входят в максимизируемую функцию полезности, а лишь в бюджетное ограничение, которое в этом случае сохраняет прежний вид.

3. Решение задачи потребительского выбора всегда находится на границе бюджетной линий. Рассмотрим случай двух товаров. Предположим, что точка потребительского выбора располагается внутри бюджетного множества. Это означает, что потребитель израсходовал не весь свой доход и у него есть денежные средства, которые он может потратить на приобретение дополнительных единиц товаров, тем самым, увеличив полезность приобретаемого набора. Приобретение дополнительных единиц того или иного товара без уменьшения количества единиц других товаров в наборе соответствует перемещению кривой безразличия в северо-восточном направлении координатной плоскости. Поэтому точкой выбора потребителя всегда будет служить точка касания кривой безразличия с бюджетной линией. В условиях стандартных предпочтений потребителя это решение всегда существует и является единственным.