Вопросы для самоконтроля

1. Что такое позиционные системы счисления и в чем их отличие от непозиционных? Какие позиционные системы счисления вам известны?

2. Какие способы представления чисел в ЦВМ вам известны? В чем заключаются особенности представления чисел с фиксированной запятой?

3. В чем заключаются особенности представления чисел с плавающей запятой?

4. Какие инверсные коды чисел вам известны? Как они образуются и в чем их отличие от прямого кода?

5. Что такое двоично-десятичные коды чисел? Какие двоично-десятичные коды получили наибольшее распространение в цифровой вычислительной технике? Какими свойствами они характеризуются?

2. Арифметические операции в двоичных кодах

2.1. Сложение двоичных кодов

Сложение прямых кодов двоичных чисел редко применяется в вычислительной технике, поскольку при сложении чисел с разными знаками для формирования знака суммы требуется выполнение дополнительной нетривиальной процедуры. Гораздо проще складывать числа, представленные инверсными кодами, поскольку в этом случае знаковые разряды операндов, как и все остальные разряды, можно складывать по правилам двоичной арифметики, что приводит к автоматическому формированию знака суммы.

При сложении чисел с плавающей запятой на первом этапе необходимо сравнить порядки операндов. Если порядки слагаемых разные, это означает, что разряды мантисс операндов имеют разные веса и прямое сложение таких операндов невозможно. Поэтому перед выполнением сложения мантисс следует осуществить выравнивание порядков операндов.

Для выравнивания порядков операндов вычисляется разность порядков первого второго слагаемых P = (P₁ – P₂) на сумматоре порядков. Очевидно, что операция вычитания (P₁ – P₂) должна заменяться операцией сложения P₁ + (–P₂), при этом оба порядка должны быть представлены в инверсном коде с учетом инвертированного знакового разряда вычитаемого.

Если P = 0, то порядки слагаемых равны и можно переходить к сложению мантисс. Если разность порядков положительная (P > 0), то первое слагаемое больше второго. В этом случае следует сдвинуть мантиссу второго слагаемого на P разрядов вправо, а порядок второго слагаемого увеличить на P. Когда разность порядков отрицательная (P < 0), первое слагаемое меньше второго, поэтому следует сдвинуть мантиссу первого слагаемого на |P| разрядов вправо, а порядок первого слагаемого увеличить на |P|.

Возможен вариант, когда |P| больше, чем число цифровых разрядов мантиссы, что приводит к обнулению одного из операндов. Тогда вместо уравнивания порядков следует сразу сформировать код суммы, равный коду большего слагаемого.

Поскольку порядки слагаемых могут быть с разными знаками, то при нахождении их разности может возникнуть переполнение сумматора порядков. Для фиксации переполнения часто используют модифицированный код с удвоенным знаковым разрядом, поскольку в результате переполнения при сложении единица переноса выходит из старшего разряда мантиссы суммы и знак суммы будет изменен.

При использовании модифицированного кода двоичная комбинация «01» в знаковых разрядах суммы указывает на положительное переполнение в сумматоре порядков. В этом случае в качестве результата сложения следует выдать код первого слагаемого. Если в знаковых разрядах суммы окажется двоичная комбинация «10», это указывает на отрицательное переполнение. Тогда в качестве результата сложения следует выдать код второго слагаемого.

После выравнивания порядков производится сложение мантисс операндов по правилам двоичной арифметики и округление результата (подробнее об операции округления можно прочитать в разделе 2.3 настоящего пособия). При этом возможна денормализация результата как влево (переполнение в сумматоре мантисс), так и вправо. Денормализованное на k разрядов вправо число оказывается по модулю меньше 0,5. В табл. 2.1 представлены изображения денормализованных чисел в прямом и инверсном кодах.

Таблица 2.1

	Положительное	Отрицательное
k k Прямой код	0,00…01…	1,00…01…
k k Инверсный код	0,00…01…	1,11…10…

При фиксации в сумматоре мантисс переполнения необходимо ликвидировать его путем сдвига содержимого сумматора вправо на один разряд, при этом в освобождающийся старший знаковый разряд заносится цифра, оказывающаяся в результате сдвига в младшем знаковом разряде, а порядок суммы увеличивается на 1. Если при сложении мантисс возникла денормализация результата на k разрядов вправо, то для ее устранения необходимо сдвинуть результат на k разрядов влево, а порядок результата следует уменьшить на k. При этом необходимо учитывать возможность появления запрещенной в дополнительном коде комбинации «1,00…0» и равенство суммы нулю.

В том случае, когда денормализованное вправо отрицательное число представлено в обратном коде, освобождающиеся при сдвиге влево разряды мантиссы следует заполнять единицами, в других случаях – нулями.

Поскольку при устранении денормализации должно изменяться значение порядка, то может иметь место переполнение в сумматоре порядков. При положительном переполнении результат приравнивается к бесконечности, знак которой определяется знаком мантиссы. При отрицательном переполнении в сумматоре порядков результат считается бесконечно малой ненулевой величиной (если мантисса отлична от нуля).

Рассмотрим несколько примеров сложения чисел в дополнительном коде. Обозначим мантиссы операндов через [m_X], порядки – через [P_Х].

Пример 1.

A₍₁₀₎ = 20,25; B₍₁₀₎ = 0,75; C = A + B;

A₍₂₎ = 10100,01; B₍₂₎ = 00000,11;

1. Для выравнивания порядков вычислим

+

Поскольку в сумматоре порядков образовалось положительное число, операнд A больше операнда B. Для выравнивания порядков сдвинем мантиссу второго операнда на P разрядов вправо:

2. Выполним сложение мантисс, при этом в сумматоре введем дополнительный младший разряд для округления.

+

После округления до семи разрядов после запятой получим

Таким образом, С₍₂₎ = 10011,10; С₍₁₀₎ = 19,5.

Пример 2.

А₍₂₎ = 0,01101011; В₍₂₎ = 0,01000111; C = A + B;

1. Для выравнивания порядков вычислим

+

Разность порядков равна 0, следовательно, уравнивание не требуется.

2. Выполним сложение мантисс.

+

После округления до восьми разрядов после запятой получим

Мантисса суммы оказалась денормализованной на один разряд вправо. Для нормализации результата сдвинем мантиссу суммы на один разряд влево, а значение порядка суммы уменьшим на 1.

Окончательно

В прямом коде результат сложения запишется следующим образом:

Большое количество примеров сложения двоичных чисел с плавающей запятой можно найти в [5].