1.3. Представление двоичных чисел с фиксированной и плавающей запятой

Известны три формы представления чисел: естественная (в некоторых источниках естественной формой представления чисел в ЦВМ называют форму представления с фиксированной запятой, которую здесь мы рассмотрим отдельно), с фиксированной запятой и с плавающей запятой (нормальная или полулогарифмическая). Кроме перечисленных (получивших наибольшее распространение) форм представления чисел могут также использоваться формы, получаемые путем функционального преобразования чисел. Например, логарифмическая форма, позволяющая заменять операции умножения и деления чисел операциями сложения и вычитания их логарифмов.

При естественной форме представления целая и дробная части числа отделяются друг от друга запятой и для каждого произвольного числа необходимо указывать положение запятой в одном из разрядов кода. Такая форма представления чисел не получила широкого распространения в цифровых вычислительных устройствах, поскольку для ее использования требуется дополнительное оборудование и существуют трудности при оперировании очень большими или очень малыми по абсолютной величине числами.

При использовании формы представления чисел с фиксированной запятой определяется место фиксации запятой после старшего разряда в разрядной сетке ЭВМ или перед младшим разрядом. Поскольку для любого числа положение запятой строго фиксировано, специальный разряд для нее не отводится. Если запятая фиксирована после старшего разряда, то вычислительное устройство оперирует с дробями, а если перед младшим – то устройство оперирует с целыми числами. В дальнейшем будем полагать, что запятая фиксирована после старшего разряда, если обратное специально не оговорено. При этом числа должны быть представлены в виде правильных дробей, для чего используются специальные масштабные коэффициенты. Следует учитывать, что при такой форме представления возможны потери старших значащих цифр числа вследствие переполнения разрядной сетки, т.е. в том случае, когда результат выполнения арифметической операции является неправильной дробью (по модулю больше 1). Это обстоятельство накладывает ряд ограничений на используемые при вычислениях числа: во-первых, модуль суммы двух чисел не должен превышать единицу; во-вторых, модуль делимого должен быть меньше модуля делителя.

На рис. 1.1 изображено машинное представление n-разрядного числа с фиксированной после знакового разряда запятой.

Старший разряд числа с фиксированной запятой используется для кодирования знака. При этом обычно знак положительного числа кодируется наименьшей цифрой, а знак отрицательного числа – наибольшей. В двоичной системе счисления знаку «плюс» соответствует цифра 0, а знаку «минус» – цифра 1. В некоторых случаях для кодирования знака может быть использовано более одного разряда.

Величины двоичных чисел (правильных дробей), представляемых в машинах с фиксированной запятой, лежат в пределах

а диапазон представления чисел в машине с фиксированной запятой равен

Наибольшее распространение в ЦВМ получила нормальная форма представления чисел, которая также называется формой представления с плавающей запятой. При этом числа представляются в виде

где a – правильная дробь, удовлетворяющая условию , называемая мантиссой числа; p – основание системы счисления; m – целое положительное или отрицательное число, называемое порядком числа, указывающее местоположение запятой в числе.

На рис. 1.2 изображено машинное представление числа с плавающей запятой.

Максимальное по абсолютной величине число, которое может быть представлено в машине с плавающей запятой, определяется как

,

однако, учитывая, что при больших n величина мала, ею можно пренебречь.

Таким образом, величины двоичных чисел, представляемых в машинах с плавающей запятой, лежат в пределах

а диапазон представления чисел в машине с плавающей запятой равен

Формы представления чисел с фиксированной и плавающей запятой обладают как достоинствами, так и недостатками. Так, например, в качестве недостатков можно отметить, что при использовании формы представления чисел с фиксированной запятой возникает необходимость в масштабировании, что усложняет программирование вычислений, а в случае использования формы представления с плавающей запятой возрастает сложность оборудования и снижается быстродействие за счет необходимости выполнения операций с порядками и нормализации мантисс (приведения к форме ). Однако, учитывая положительные качества обеих форм представления, в универсальных ЦВМ они могут использоваться совместно. Так, например, форма представления с фиксированной запятой может использоваться при решении задач целочисленной арифметики.