1. Представление чисел в эвм

1.1. Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов записи чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называют кодом числа. Отдельную позицию в изображении числа называют разрядом, а номер позиции – номером разряда. Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обладать следующими свойствами:

– возможностью представления любого числа в заданном диапазоне;

– однозначностью представления чисел;

– простотой оперирования числами.

Системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные. К последним относится, например, римская система счисления. Основными недостатками непозиционных систем счисления являются:

– отсутствие нуля;

– необходимость использования бесконечного количества символов;

– сложность арифметических операций над числами.

Позиционными называют системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное число символов, а значение каждой цифры числа определяется ее местоположением в числе. Например, десятичное число 545 означает 5 сотен, 4 десятка и 5 единиц.

В общем виде число в позиционной системе счисления может быть представлено как

,

где – цифра i-го разряда числа, ; – основание системы счисления.

Позиционные системы счисления подразделяются на неоднородные и однородные.

В неоднородных системах счисления основания не зависят друг от друга и могут принимать любые значения, поэтому такие системы называют еще системами со смешанным основанием. Примером неоднородной позиционной системы счисления является система представления времени. Так, например, число

A = 5∙365∙24∙60∙60∙1+10∙24∙60∙60∙1+22∙60∙60∙1+11∙60∙1+50∙1

является записью времени в 5 лет, 10 суток, 22 часа, 11 минут, 50 секунд. В этом примере p₄ = 365 суток, p₃ = 24 часа, p₂ = 60 минут, p₁ = 60 секунд, p₀ = 1 секунда.

Однородные позиционные системы счисления характеризуются тем, что в них веса отдельных разрядов числа представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем p. Число в таких системах счисления представляется полиномом вида

,

причем целой части числа соответствует полином

,

а дробной части – полином

.

Здесь, как и ранее, – цифры числа, p – натуральное целое число, называемое основанием системы счисления. Следует помнить, что основание p записывается числом «10» в своей системе счисления.

Различают также кодированные позиционные системы счисления, в которых цифры системы счисления с основанием p кодируются при помощи комбинаций цифр другой системы счисления с основанием q. Такое число может быть представлено в виде полинома

Примером такой системы может служить так называемая двоично-десятичная система представления чисел (D-код), в которой каждой цифре десятичного числа соответствует двоичная тетрада с весами 8421. Например, десятичное число 259 в двоично-десятичной системе с естественными весами 8421 запишется как

0010	0101	1001
2	5	9.

D-код 8421 редко применяется в вычислительной технике, поскольку он не является самодополняющимся, т.е. двоичные коды любых двух десятичных цифр, дополняющих друг друга до 9 (их сумма равна 9), не дополняют друг друга до 15. Примером самодополняющегося D-кода является D-код 8421+3 с потетрадным избытком 3, в котором вышеприведенное число 259 запишется как

0101	1000	1100
2+3	5+3	9+3.

Более подробно о D-кодах см. в разделе 1.5.