3.6. Кубическое представление пф
Будем
полагать, что каждый набор n
аргументов ПФ задает вершину n-мерного
куба и называется 0-кубом. Определив
множество 0-кубов, на которых значения
функции равны единице, можно получить
представление ПФ в виде кубического
комплекса
.
Рассмотрим функцию, заданную табл. 3.7.
Она может быть представлена в виде
следующего кубического комплекса:
,
где
столбцам соответствуют переменные
.
Из способа построения кубического комплекса следует, что каждая ПФ может иметь единственное представление такого вида.
Для
ПФ, в общем случае зависящей от n
аргументов, могут быть построены
кубические комплексы размерности:
,
,
,…,
.
При этом каждый комплекс
строится по комплексу
путем образования i-кубов
из
-кубов,
отличающихся только по одной переменной.
Переменная (координата), по которой
отличаются сравниваемые кубы, называется
независимой
и заменяется символом «Х».
В качестве примера рассмотрим функцию
Для
нее кубические комплексы
,
,
и
могут быть построены следующим образом:
;
;
.
Поскольку
кубический комплекс
не содержит 2-кубов, отличающихся только
по одной переменной, то кубический
комплекс
будет представлен пустым множеством.
Объединение
кубов комплексов
,
,
,…,
образует кубический комплекс
.
Таким образом,
.
Для
рассмотренной выше функции
можно записать в следующем виде:
3.7. Синтез комбинационных схем
3.7.1. Синтез кс на логических элементах
Для синтеза КС на логических элементах, реализующих элементарные логические функции (дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание, штрих Шеффера и т.п.), удобно использовать аналитическое представление ПФ. В этом случае синтез схем сводится к соединению входов и выходов логических элементов в соответствии с заданными алгебраическими выражениями, т.е. логические элементы выполняют соответствующие логические операции над входными сигналами. При этом многоуровневые выражения могут потребовать многоуровневой схемной реализации.
Рассмотрим пример. Пусть подлежащая реализации функция задана таблицей истинности (табл. 3.8).
Таблица 3.8
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Рассматриваемая
функция принимает значение 1 в тех
случаях, когда выполняется условие (
и
)
или условие (
и
).
Таким образом, логические выражение, описывающее выход синтезируемой схемы, может быть записано как
.
Для
реализации рассматриваемой функции с
использованием элементов функционально
полного логического базиса «И, ИЛИ, НЕ»
согласно приведенному выражению
потребуются два логических элемента,
реализующих конъюнкции
и
,
и один логический элемент, реализующий
дизъюнкцию их выходов.
Пример КС, реализующей рассматриваемую функцию, приведен на рис. 3.2 (здесь и далее на рисунках изображения элементов схем могут не соответствовать ГОСТ).
Рис. 3.2
Для реализации рассмотренной ПФ может быть синтезирована более простая схема. Действительно, воспользовавшись для преобразования исходной записи функции дистрибутивным законом (см. раздел 3.3), имеем:
.
Отсюда
следует, что для реализации заданной
функции необходимо использовать
двухвходовый логический элемент,
реализующий дизъюнкцию
,
выходной сигнал с которого совместно
с сигналом
поступает на вход двухвходового
логического элемента, реализующего
конъюнкцию входов. Данная КС изображена
на рис. 3.3.
Рис. 3.3
Помимо элементов, реализующих элементарные логические функции, в некоторых случаях более удобным с точки зрения упрощения процедуры синтеза КС является использование элементов, реализуемых в виде интегральных схем средней степени интеграции, выходы которых описываются более сложными выражениями. Упрощение процедуры синтеза достигается за счет универсальности и больших функциональных возможностей по сравнению с простыми логическими элементами. В качестве примера рассмотрим основные этапы синтеза КС с использованием дешифраторов и мультиплексоров.