1.2. Обоснование применения в эвм двоичной системы счисления

При выборе системы счисления для применения в ЭВМ следует учитывать совокупность различных параметров, среди которых можно выделить:

– наличие физических элементов для представления и хранения цифр системы;

– экономичность системы, т.е. количество элементов, требуемых для представления и хранения многоразрядных чисел;

– быстродействие вычислительных устройств;

– высокую помехоустойчивость кодирования цифр.

Очевидно, что по первому и последнему критериям двоичная система счисления наиболее выгодна в применении, поскольку для кодирования двух цифр этой системы могут использоваться элементы, принимающие только два устойчивых состояния.

Остановимся более подробно на оценке экономичности и быстродействия вычислительных устройств, использующих системы счисления с различными основаниями.

Оценим экономичность использования различных систем счисления. Для этого введем некоторую оценочную величину , пропорциональную количеству деталей оборудования [4], где индекс i соответствует i-й системе счисления, а – число разрядов.

Количество чисел, которые можно представить в i-й системе счисления, определяется следующим образом:

,

откуда

Таким образом, выражение для записывается как

Предположим, что величина изменяется не дискретно, а непрерывно и количество чисел одинаково для всех систем. Тогда после исследования на экстремум функционала

получим следующий вывод: оптимальное значение основания системы счисления равно основанию натурального логарифма, т.е. p_опт = e  2,7182. Для определения экономичности системы счисления с целочисленным основанием введем относительное значение

откуда, с учетом предыдущих формул, получим

Сведем в таблицу решения вышеприведенного уравнения для различных целочисленных оснований систем счисления.

Таблица 1.1

Основание	2	3	4	5	10
	1,062	1,005	1,062	1,143	1,598

Из табл. 1.1 следует, что в цифровых вычислительных устройствах наиболее выгодно применять систему счисления с основанием . Однако для хранения произвольной троичной цифры требуется элемент с тремя устойчивыми состояниями, уступающий в плане помехоустойчивости и простоты физической реализации элементу с двумя устойчивыми состояниями.

Рассмотрим еще один критерий оценки систем счисления с разными основаниями – по быстродействию выполнения арифметических операций. В качестве характеристики быстродействия выберем количество элементарных сложений, выполняемых при умножении n-разрядных p-ичных чисел.

В каждом цикле умножения максимальное количество сложений не превышает величину . Учитывая, что количество циклов умножения пропорционально разрядности множителя , с применением вышеприведенных формул общее количество сложений запишется как

Сведем в таблицу значения параметра оценки быстродействия вычислительного устройства при использовании систем счисления с различными целыми основаниями (табл. 1.2). Для этого нормируем последнее выражение относительно и вычислим относительную характеристику быстродействия по формуле

Таблица 1.2

Основание	2	3	4	5	10
	1,000	1,262	1,500	1,725	2,709

Таким образом, цифровое вычислительное устройство, работающее в двоичной системе счисления, характеризуется более высоким быстродействием относительно систем счисления с другими целыми основаниями.